Heute ist der 14. März. Der einzige Tag im Jahr, in dem man sich guten Gewissens der unpraktischen amerikanischen Datumsschreibweise bedienen kann. Dann haben wir heute nämlich 3/14, und das ist der Anfang der wunderbaren Zahl Pi: 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679… Das sind nur 100 Nachkommastellen und es kommen noch jede Menge hinterher. Unendlich viele und man wird darin kein Muster finden. Pi ist eine irrationale Zahl und eventuell auch eine normale Zahl, obwohl das eigentlich alles andere als normal ist. Pi ist aber vor allem eine enorm faszinierende Zahl; so sehr dass es sogar einen Verein der Freunde der Zahl Pi gibt, der mich außerdem noch zum „Botschafter der Zahl Pi“ ernannt hat. Was mich nicht nur berechtigt, Aufnahmeprüfungen für den Verein abzunehmen (dafür muss man 100 Nachkommastellen fehlerfrei und ästhetisch ansprechend rezitieren) sondern auch verpflichtet, überall wo es mir möglich ist, die frohe Kunde der Zahl Pi in die Welt hinaus zu tragen.
Dieser Aufgabe möchte ich am heutigen Feiertag natürlich gerne nachkommen. Und zeige euch daher ein schönes Video des Mathematikers und Komikers Matt Parker. Er hat sich überlegt, wie man berechnen kann wie viel „Pi hoch Pi hoch Pi hoch Pi“ ist. Warum? Wer diese Frage stellt, hat nicht verstanden worum es bei der Beschäftigung mit der Zahl Pi geht!
Es ist ja schon faszinierend. Pi ist eine Zahl. Eine außergewöhnliche Zahl, aber dennoch eine Zahl mit der man genau so rechnen kann wie mit allen anderen Zahlen. Wir man Potenzen berechnet, wissen wir auch. Das ist nichts anderes als eine fortgesetzte Multiplikation. Und die ist nichts anderes als eine fortgesetzte Addition. Am Ende geht es bei der Triplepotenz also nur darum, Zahlen zu addieren. Das sollte doch zu schaffen sein! Und trotzdem wissen wir nicht, wie das Ergebnis der Rechnung lautet; wir wissen nicht einmal, ob das Ergebnis eine ganze Zahl ist oder nicht. Die Zahl Pi steckt immer noch voller Geheimnisse. Und das ist gut so! Genau das macht sie so faszinierend. Und genau deswegen wird es weiterhin die „Freunde der Zahl Pi“ geben!
Kann Pi hoch Pi hoch Pi hoch Pi überhaupt eine ganze Zahl sein, wenn Pi eine irrationale Zahl ist? Dazu müsste man nämlich Pi als einen Bruch ganzer Zahlen schreiben können (da diese Rechenoperation wie beschrieben nichts anderes ist als eine Verkettung von Additionen), und dann wäre Pi eine rationale Zahl. Herr Freistetter weiß das natürlich 😉
Im Video ab 3:20 erklärt Matt Parker anhand von Wurzel 2 und e, dass irrationale Zahlen potenziert durchaus ganze Zahlen ergeben können.
Naja, zu sagen dass Multiplikation und Potenz nur Verkettungen von Additionen seien, ist schon eine sehr starke Vereinfachung. Auf den natürlichen Zahlen sind sie so definiert, aber für andere Zahlenmengen funktioniert das nicht direkt.
@Harald: „Kann Pi hoch Pi hoch Pi hoch Pi überhaupt eine ganze Zahl sein, wenn Pi eine irrationale Zahl ist?“
Eine der berühmtesten Formeln der Mathematik besagt dass e^(i*pi)=-1 ist. Aus zwei irrationalen und einer imaginären Zahl wird eine ganze Zahl. Sollte man nicht glauben, ist aber so. https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel
Nicht zu vergessen die wichtige Formel „Pi mal Daumen“, mit der man z.B. die Kosten von Diabetes in Deutschland abschätzen kann: https://scienceblogs.de/gesundheits-check/2014/10/29/pi-mal-daumen-welche-kosten-verursacht-diabetes-in-deutschland/
Eine vielleicht etwas absonderliche Frage: Im Blog steht, dass man bei den Nachkommastellen von Pi „kein Muster“ finden kann. Mir ist klar, was damit gemeint ist, aber was genau ist eigentlich ein „Muster“? Könnte man die Ziffernfolge von PI auch als „PI-Muster“ bezeichnen?
Kein Muster heißt doch ex negativo, daß auch nichts, was als Zahlenfolge codierbar ist, davon ausgeschlossen ist, irgendwo in den Nachkommastellen von Pi vorzukommen. Was bedeutet das für die Frage, ob Pi in ihren eigenen Nachkommastellen vorkommt?
Bei mir, wohl wg Untrennbarkeit, sogar nur ca 71,5…
Gedacht war wohl eine Periodizität, generell vielleicht: eine pi weder berechnende noch kennende Funktion nkpi(s,l), die zu (gewissen) Paaren Start|Länge die entsprechenden NachkommaStellen ausgibt.
@pederm:
Was genau Florian im Artikel mit „Muster“ meint, weiß ich nicht. Aber meines Wissens nach ist deine Behauptung „daß auch nichts, was als Zahlenfolge codierbar ist, davon ausgeschlossen ist, irgendwo in den Nachkommastellen von Pi vorzukommen“ nicht bewiesen (und auch nicht widerlegt). Und es ist auch nicht schwer, eine zu Pi sehr ähnliche Zahl (irrational und auch transzendent) zu konstruieren, für die das nicht der Fall ist. Ob die Nachkommastellen einer solchen Zahl ein „Muster“ enthalten, hängt davon ab, was genau man mit „Muster“ meint.
Falls Pi eine normale Zahl ist (was nicht bewiesen ist), dann kommt jede endliche Ziffernfolge in den Nachkommastellen von Pi mit der gleichen asymptotischen Häufigkeit vor, und damit insbesondere unendlich oft. Für unendliche Ziffernfolgen gilt das selbstverständlich im Allgemeinen nicht.
@Florian
Bitte um Klärung.
Was ist genau gemeint mit
Pi ^ Pi ^ Pi ^ Pi ?
a) ((Pi ^ Pi )^ Pi )^Pi
b) Pi ^ (Pi ^ (Pi ^ (Pi ^ Pi)))
@pederm: Weil π keine Muster in den Nachkommastellen hat (sich also nicht wiederholt), wirst Du mit Sicherheit eine begrenzte Anzahl von Nachkommastellen wieder finden, niemals aber die gesamte Zahl π.
3. Potenzgesetz: Potenzieren von Potenzen
(a ^ n) ^ m = a ^ (n•m)
Beispiel:
(2 ^ 2) ^ 3 = 64
2 ^ (2•3) = 64
Aber Achtung:
2 ^ ( 2 ^ 3) = 256
Matt Parker diskutiert b) Pi ^ (Pi ^ (Pi ^ (Pi ^ Pi))), a) ((Pi ^ Pi )^ Pi )^Pi = 2.598.761.979.625.197,52144… ist wenigstens kalkulierbar.
Also
a) ((Pi ^ Pi )^ Pi )^Pi = 2.67249687963407*10^48
Also keine ganze Zahl.
Es bleibt also nur noch Fall b)
Ich hoffe, dass das jetzt wirklich eine ganze Zahl rauskommt, woran ich aber nicht ganz glaube.
@alex und Till
Genau darum ging’s mir: zwischen „Für unendliche Ziffernfolgen gilt das selbstverständlich im Allgemeinen nicht“ (die positive Aussage „π ist in π enthalten“ kann aus der Normalität nicht zwingend gefolgert werden) und „…niemals aber die gesamte Zahl π“ (starke Behauptung, gibt’s dafür Belege oder wenigstens Hinweise?) zu entscheiden.
Wurzel 2 hat auch unendlich viele Nachkommastellen. Schreibt man Wurzel 2 als Kettenbruch und schon ist sie gezähmt.
Wir sollten der Mathematik zutrauen, dass eine Methode gefunden wird, Pi zu zähmen.
Du hast (((Pi ^ Pi )^ Pi )^Pi)^Pi berechnet und so, wie du es angibst, ist es sehr wohl eine ganza Zahl, nämlich 2,672496879634070000000000000000000000000000000000
@hwied
Na, Wurzel2 ist ja auch nur einfach irrational, wohingegen π in der Liga der transzendenten Zahlen mit e spielt.
@pederm
Ja natürlich.
Ich meinte auch 2.67249687963407 … *10^48.
So, ich habe mir das Video ganz angeguckt.
Pi ^ Pi ^ Pi ^ Pi ist keine Ganzzahl. 🙂
Oder auch nicht: „surely we could just proof mathematically that in theory, π^π^π^π can not be an integer. Sadly, we can’t do that, we don’t have the mathematical tools.“
@pederm
Naja, sollte Pi sich ab Nachkommastelle n selbst enthalten, dann wäre es ja periodisch mit Periode n (oder n-1, je nach definition). Die frage, ob aber z.b. irgenwann die Ziffernfolge „…XXX3X1X4X1X5X…“ o.Ä. auftaucht, ist schon spannender….
@pederm
Zu #18
Da hast du wiederum recht. 😉
Pi kennt alles, außer sich selbst
https://blog.zeit.de/mathe/allgemein/kreiszahl-pi-mathe/
Danke, das ist überzeugend (und so einfach, da hätt man auch selber drauf kommen können, fast peinlich)
@pederm
Bist du sowas wie ein Mathematiklehrer? 😉
Noch eine Frage eines Mathematik-Laien: In dem von Karl-Heinz verlinkten Zeit-Artikel heißt es zur Zahl Pi, „als wären ihre Dezimalen von einem 10-seitigen Würfel mit den Seiten 0 bis 9 ausgewürfelt worden“.
Was bedeutet es, wenn die Dezimalen einerseits Zufallseigenschaften haben, andererseits durch die Eigenschaften von Pi strikt determiniert aufeinander folgen? Wie ist „zufällig“ hier definiert?
@Karl-Heinz
Ob Pi alles andere kennt, ist noch nicht geklärt.
Durch einen Kommentar unter dem Zeit-Artikel darauf aufmerksam gemacht: Unendliche Folgen wie 1/3 = 0,333… enthält Pi selbstredend auch nicht.
@Joseph Kuhn
Wenn ich das richtig interpretiere, dann erfüllt die Ziffernfolge einer Nomalen Zahl genau die Bedingungen, die eine zufällig erzeugte Ziffernfolge hat.
(Wie im Artikel erwähnt, wobei noch unklar ist, ob Pi eine normale Zahl ist,)
Das bedeutet eigentlich nur, dass man auch beim besten Willen nicht klären kann, ob eine einem vorgelegte Ziffernfolge tatsächlich zufällig erzeugt wurde.
.
@florian e^(i*pi) = -1 ist mir als Elektroingenieur natürlich sonnenklar. Aber hier sind wir im Bereich der reellen Zahlen, und da laufen wir nicht in der komplexen Ebene im Kreis herum. 🙂
An sich müsste man „nur“ nachweisen, dass X=pi^pi = e^(pi * ln pi) keine rationale Zahl ist. Dann ist es auch X^X nicht usw. Was nicht bedeutet, dass Pipi (machen) irrational ist. 😉 (Aber dafür bin ich zu sehr Ingenieur und kein theoretischer Mathematiker…)
@Harald
Du meinst also, für eine Operation von a und b beweisen, dass a^b = e^(b • ln a) keine rationale Zahl ist. Und danach die Operation hintereinander ausführen. Problem ist halt nur, dass sich nach jeder Operation auch die Terme bzw. Zahlenwerte a und b ändern. Man erhält wiederum eine ähnliche Termstruktur wie
Pi ^ Pi ^ Pi ^ Pi nur halt viel komplizierter. 😉
Exakter
…
Du meinst also, für eine Operation von a:=Pi und b:=Pi beweisen, dass a^b = e^(b • ln a) keine rationale Zahl ist. …
@Joseph Kuhn:
Das funktioniert im Wesentlichen so: Such dir irgend eine Zahlenfolge aus, beliebig lange.
Heute zum Beispiel wäre die „03142021“ ganz nett. Das sind 8 Ziffern, und wenn ich würfle, hat das eine Wahrscheinlichkeit von 0.1^8 = 1/100.000.000. Also würde ich beim Würfeln erwarten, alle hundert millionen Versuche diese Zahlenfolge zu kriegen.
Wenn ich jetzt in eine normale Zahl schaue, und mir z.B. eine Billion Nachkommastellen anschaue (also zehntausend mal hundert millonen), würde ich ungefähr zehntausend mal diese Ziffernfolge sehen. (Wobei wir mal ein par Feinheiten mit Präfixen und so ignorieren)
Aber wichtig ist, dass das für beliebig lange Ziffernfolgen gilt. Wenn ich nur will, dass z.B. jede Ziffer ungefähr 10% aller Stellen ausmacht, kann ich mir zum Beispiel auch einfach die 0,12345678901234567890…. ansehen, aber das ist halt relativ unspannend. (Aber die 0.1234567891011121314151617… ist tatsächlich eine normale Zahl*).
*Und um Dinge wirklich kompliziert zu machen: In der Basis 10. Wenn ich mir die selbe Zahl z.B. binär ansehe, ist das nicht mehr unbedingt so…
Da fällt mir ein, möglicherweise muss man die Anzahl an Nachkommastellen, die man sich anschaut, auch noch mal 8 nehmen oder solche Details, aber sowas unterschalgen wir mal 🙂
@Jere
Mir gefällt sie, die Erklärung. 🙂
@ Jere:
Danke. Dass die Ziffernfolge in ihrer Reihenfolge so ist, wie nicht besser als „zufällig“ erwürfelt sein könnte, habe ich verstanden. Aber die Reihenfolge von Pi ist ja trotzdem determiniert, sie ist exakt so, wie sie ist, mit Notwendigkeit. Die beiden Seiten kriege ich nicht zusammen. Vielleicht hänge ich bei „zufällig“ zu sehr an einer stochastischen Denke fest.
Ich guck jetzt lieber mal die Ergebnisse der Landtagswahlen, auch ein Hybrid aus Zufall und Notwendigkeit, aber einfacher zu verstehen 😉
@Joseph Kuhn:
Das ist ein sehr sehr spannendes Thema, das auf die philosophischen Grundlagen der Stochastik rausläuft, und letztlich auf die Frage „Was ist Zufall?“.
Wenn man will, kann man auch argumentieren, dass ein Würfelwurf genau mit Notwendigkeit so ist, wie er ist, schließlich berechnet er sich genau aus der Anfangssituation (der Position meiner Hand, des Würfels in der Hand, der Luftmoleküle im Raum, etc.) und den physikalischen Gesetzen, die nunmal sind, wie sie sind.
Trotzdem werde ich in einer Folge von Würfelergebnissen ein bestimmtes Verhalten finden, das man landläufig „zufällig“ nennt, und das sich eben genau so (vermutlich) in den Nachkommastellen von Pi (und allen anderen normalen Zahlen) findet.
Zum weitergoogeln eventuell auch ganz interessant: Es gibt das Konzept „Ergodizität“. Ein ergodisches System ist eines, in dem „jedes einzelne Teilchen jeden möglichen Punkt besucht“. Damit kriegt man auch, obwohl die Zukunft jedes Zustandes genau vorhersagbar ist, trotzdem ein Verhalten, das nach Zufall aussieht.
… so einen „genauen“ Würfel kann man genau nicht herstellen,
wäre so kompliziert wie die Quadratur des Kreises.
Ist so nur eine Approximation, wie genau ist die eigentlich?
Bin kein Mathematiker und habe mir den Beitrag (noch) nicht einverleibt, also wie potenziert man zwei Zahlen, deren Ende es nicht gibt?
Bei Webfail ging es heute auch um Pi:
https://de.webfail.com/057916f31df?tag=ffdt
@Uwe Milkau
Du kennst ja die Sache mit dem Reiskorn.
2^64 = 1.84467440737096*10^19
Eine Zahl mit 20 Stellen.
Pi^Pi^Pi^Pi = Pi^(1.34016418300636*10^18)
Sieht nach sehr viel Stellen vor dem Komma aus. Einfach gigantisch. 😉
@Uwe Milkau:
Zunächst einmal sollte man vielleicht anmerken, dass es in der Mathematik oft gar nicht so wichtig ist, wie man etwas konkret ausrechnet. Häufig ist schon viel gewonnen, wenn man beweisen kann, dass das zu untersuchende Objekt tatsächlich existiert. Und häufig kann man bestimmte interessante Eigenschaften untersuchen, ohne das Objekt explizit zu berechnen.
Aber in diesem Fall könnte man verwenden dass Potenzierung stetig ist (in beiden Argumenten; jedenfalls auf den positiven reellen Zahlen). Und daraus folgt dann, dass wenn man eine Folge hat, die sich Pi annähert, also z.B: 3, 3.1, 3.14, 3.141, …, und man jede Zahl dieser Folge hoch sich selbst nimmt, also 3^3, 3.1^3.1, 3.14^3.14, 3.141^3.141, …, man eine Folge bekommt, die sich Pi^Pi annähert.
Und mit ein bisschen mehr Arbeit kann man auch bestimmen, auf wie viele Nachkommastellen jede dieser Zahlen mit Pi^Pi mindestens übereinstimmt. Z.B. ist 3.141 < Pi < 3.142, und weil x^x für x > 1 streng monoton steigt, folgt dass 3.141^3.141 < Pi^Pi < 3.142^3.142 ist. Und wegen 3.141^3.141 = 36.41… und 3.142^3.142 = 36.49… muss deshalb Pi^Pi = 36.4… sein.
Auf diese Weise kann man im Prinzip beliebig viele Nachkommastellen von Pi^Pi bestimmen. (In der Praxis würde man das aber vermutlich nicht so machen). Bei Pi^Pi^Pi^Pi könnte man im Prinzip das selbe machen. Aber, wie im Video erklärt, ist das praktisch nicht machbar.
Auch auf die Gefahr hin vom Bloginhaber auf Dauer gesperrt zu werden:
Ich mag Phi viel lieber als Pi!
Als Versöhnung: Gut Pi hat zugegeben auch was.
@ René
Solange du nicht behauptest, π=4/√Φ, ist alles gut, denke ich 😉
Die Neutronensterne sind die perfektesten Kugeln im Weltall,
da könnte sich „pi“ mal eine Scheibe von abschneiden 😉
@Joseph Kuhn #25
Ich glaube, „man“ meint hier einfach nur, dass die Korrelation zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ziffern (und auch zwischen aufeinanderfolgenden Zifferblöcken beliebiger Länge) gegen Null geht.
Man könnte aber wohl auch die Zahl √ 2, oder sogar 1/3 auswürfeln, wenn nur genügend viele Leute mitwürfeln.
√2
Mich beschäftigt die Frage, was wir beim Potenzieren tun.
Wenn man die 2 mit sich selbst potenziert entsteht eine Fläche, wenn man die 3 mit sich selbst potenziert entsteht ein Körper. Was entsteht , wenn man Pi mit sich selbst potenziert ? ….ein Fraktal ??
Zur Beantwortung dieser Frage solltest du vorher ergründen, welche fraktale Dimension dein mehr oder weniger gefurchtes Gehirn hat.
Fluffy
ein paar Daten zu meiner Physiologie
Logaritmus Körperlänge = 2,23
Logaritmus Kopfgröße = 1,36
Meine Selbstähnlichkeitsdimension beträgt also 2,23/1,36 = 1,64 Schade, wäre fast ein goldener Schnitt.
Was die Zerfurchung meines Hirnes angeht, die weißt eine
Ähnlichkeit mit einer Walnuss auf.
ln(Pi) hoch ln(Pi)hoch ln(Pi) hoch ln (Pi) = 1,1979 was darauf hindeutet, das mein Hirn ausreicht, das Problem zu lösen.
Du benutzt wohl den Logaritmus zur Basis h ?
Fluffy
ich muss selbst mal überprüfen, mit welcher Basis da gerechnet wurde
Grundlage ist das Bauch „Bausteine des Chaos“ von Heinz-Otto Peitgen.
Sag mal , habt ihr keine Angst vor so großen Zahlen wie Pi hoch Pi, hoch Pi, hoch Pi.
Rechnet doch lieber mit Logaritmen.
Bei der Lautstärke meines Autos werden auch nur Logaritmen angegeben. Mein Opel hat bei 100 km/h 70 dB.
Nachtrag Fluffy,
die haben mit Zehnerlogaritmen gerechnet und mit h in cm.
Da gab’s mal einen, der hat unter deinem Nick Logarithmus konsequent mit „h“ geschrieben.
@Fluffy
Na ja, irgendwie muß man ja die h’s wieder einsparen. 😉
Immerhin spricht er nicht vom Logarhythmus.
@#24 „…oder sowas“
Weil’s bei mir an der Grenze des Schulwissens auch aufhört? Good guess!
Pi ist zu Schade, als dass man es mit Pi hoch Pi unkenntlich macht.
Eine Besonderheit von Pi.
Wenn man die Stellen von Pi entlang der Geraden y= 0 aufträgt nach der Regel : Gerade Stelle = + y, also z.B. 4 = +4 und die ungeraden Stellen als – y , also 3 = -3, und immer addiert bzw. subtrahiert, dann verlaufen die ersten 100 Nachkommastellen von Pi fast alle unterhalb der Geraden y = 0. Geht das noch mit rechten Dingen zu ?
@hwied:
Der Grund dafür ist doch offensichtlich. Das ist keine Besonderheit von Pi.
alex
Dass die geraden Ziffern nur eine Summe von 20 ergeben und die ungeraden eine Summe von 25 ist auch klar.
Das Wahrscheinlichkeitsverhältnis liegt bei 4 : 5
Dann müsste sich aber die Summe der geraden und ungeraden Ziffern ebenso verhalten.
@hwied:
Es wäre hilfreich, wenn du dich präziser ausdrücken würdest.
Auf die Schnelle
von den ersten 51 Ziffern von Pi haben die ungeraden Ziffern von Pi eine Summe von 161
die ersten geraden Ziffern von Pi haben eine Summe von 90.
Das ist nicht mit Wahrscheinlichkeit erklärbar.
@hwied:
Warum nicht?
alex
wir verschieben auf nächste Woche.
@hwied:
Ich bin gerade zu faul das analytisch auszurechnen. Aber ein einfaches Program um das zu simulieren ist ja schnell geschrieben. Und demnach beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass bei 51 unabhängig und gleichverteilt gewählten Ziffern die Summe der ungeraden Ziffern größer oder gleich 161 ist, etwa 8%. Und die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der geraden Ziffern kleiner oder gleich 90 ist, beträgt sogar knapp 30%.
Beides sind nicht besonders kleine Werte. Ich sehe nicht, weshalb das auf eine erklärenswürdige „Besonderheit von Pi“ hindeuten würde.
@florian
Wie rechnet man den Pi?
Gibt es in der Quantenphysik nicht eine definierte „kleinste Länge“, und in der Astrophysik nicht eine definierte „größte Länge“ deren Länge mich irgendwie an den Äquatorumfang eines expandierenden, sphärischen Universums erinnert?
@Halo-halo:
Pi ist einfach eine Zahl, und ist rein abstrakt definiert, ohne Bezug auf die physische Realität. Wie man Nachkommastellen von Pi berechnet, und wie man mit Pi andere Dinge berechnet, hat auch keinen Bezug auf die physische Realität.
In der Quantenphysik gibt es keine kleinste Länge. Es ist einigermaßen plausibel, dass es in einer Quantentheorie der Gravitation so etwas ähnliches wie eine kleinste Länge gibt (oder genauer: dass die Raumzeit unterhalb einer Längenskala, die in etwa bei der Planck-Länge liegt, ganz anders funktioniert als wir es im makroskopischen gewohnt sind). Aber da wir noch keine funktionierende Quantengravitationstheorie haben (und wir auch keine Möglichkeit haben das experimentell zu untersuchen), ist das nicht sicher.
Ebenso ist nicht sicher ob das Universum endlich ist oder nicht. Und auch nicht ob das Universum im großen flach ist oder nicht.
Aber all das hat keinerlei Einfluss auf Pi. Denn Pi ist rein abstrakt definiert, ohne Bezug auf die physische Realität.
Alex
Bei Wurzel 2 ist die Verteilung ungerade Ziffern = 126, gerade Ziffern = 116
Wenn 8% nicht weltbewegend sind, dann lassen wir die Untersuchung.
Zum Schluss könnte man die ersten 50 Ziffern bei Pi hoch Pi nachzählen.
@hwied:
Denkst du, dass 8% weltbewegend sind? Das ist etwa die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln 11 oder 12 Punkte zu würfeln.
Und dabei habe ich nur die Abweichung vom Erwartungswert in die eine Richtung berücksichtigt. Eine gleich große Abweichung in die andere Richtung, also wenn die Summe der ungeraden Ziffern 94 gewesen wäre (oder kleiner), hättest du vermutlich genauso bemerkenswert gefunden wie 161. Und dann sind wir schon bei 16%. Findest du es wirklich weltbewegend, wenn man mit einem Würfel eine 6 würfelt?
Wenn dich das interessiert, bitte. Aber wenn du wirklich etwas entdecken willst, solltest du deutlich mehr Ziffern nehmen; Mathematica gibt mir in weniger als einer Sekunde Pi hoch Pi auf 10000 Nachkommastellen an. Und bei so vielen Ziffern kann man die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten dann auch gut mit dem zentralen Grenzwertsatz abschätzen.
Pi^Pi^Pi^Pi =
10^(10^17,82364533941695…)
https://pi2e.ch/blog/2017/03/10/pi-digits-download/#download
Alex,
ein paar Hintergrundinformationen,
Die Idee, die geraden und ungeraden Nachkommastellen abzuzählen stammt aus einem Buch von Martin Gardner.
Der ging von der Spieletheorie aus und wie man Zufallszahlen erzeugen kann. Und es ging darum, ob man die Nachkommastellen von Pi als Zufallszahlen ansehen kann. Die Frage blieb unbeantwortet.
Meine Vermutung ist auch, dass bei einer sehr großen Anzahl der Nachkommastellen sich das Summenverhältnis von gerade zu ungerade bei 4 : 5 einpendeln muss.
Karl-Heinz
bei deiner Zahl 17,82……. ist das Verhältnis von ungerade : gerade = 46 : 30 .
Karl : Heinz = 4 : 5 ist das nicht seltsam ?
@alex
Vielen Dank! Das war der Punkt, ich wollte Pi auf eine reale Ebene holen (praktische Mathematik) um als endliche Zahl damit arbeiten zu können. Dabei hätte ich natürlich einige Annahmen voraussetzen müssen wie Urknall, gleichmäßige Expansion, verhältnismäßig kleine Ursprungsgeometrie beim Urknall, Ausbreitung mit v=LG u.s.w.
Das hätte euch bestimmt den Spaß an der Frage genommen. Also gut so…
Dann habe ich nur noch Fourier anzubieten. Hatte der nicht ein Pi system aufgebaut das man um 2Koordinaten zu pi^pi^pi als quasie Pi Kugel erweitern könnte? Wenn man die in die 5te Dimension transferiert hat man das Pi-Universum.
@hwied
[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]
Gerade und ungerade sind in dieser Sequenz gleichverteilt, d.h. 5 gerade und 5 ungerade Ziffern.
gerade: [0,2,4,6,8]; ZiffernSumme = 20
ungerade [1,3,5,7,9]; ZiffernSumme = 25
ZiffernSumme_ungerade / ZiffernSumme_gerade =
= 25/20 = 5/4
Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Tut mir leid, dass das Verhältnis 5/4 trivial ist. 😉
@hwied
Karl : Heinz = 4 : 5 ist das nicht seltsam ?
Kannst du das auch noch in „gerade und ungerade“ Buchstaben formulieren? Dann hättest du mich tief beeindruckt!
@hwied
Das mit ZiffernSumme_ungerade / ZiffernSumme_gerade bei Pi muss ich noch ausprobieren. Beim Ausprobieren muss man nicht so viel denken. 😉
@#22 Karl-Heinz
Pi kennt alles, außer sich selbst
Kann Pi √2 kennen?
@Halo-halo
Ich codiere die √2 als ZeichenCode.
In diesem Fall ist √2 nicht nur einmal in Pi enthalten, sondern unendlich? oft. 😉
Karl-Heinz
4 : 5 ist nicht trivial, das ist in der Musik eine große Terz .Dagegen ist der Toyota Tercel nur eine kleine Terz.
Merke: Der Tercel ist für dich tabu. Nimm den Toyota Crown (wenn es den noch gibt)
Ich kann natürliche auch Pi als Zeichecode codieren. In diesem Fall erkennt sich Pi selbst als Zeichencode wieder. 🙂
@#22 Karl-Heinz
Pi kennt alles, außer sich selbst
Vielleicht noch etwas deutlicher….
Kann Pi Pi sein, gleichzeitig bspw. √2 und zur gleichen Zeit auch Phi kennen? Sind die „Bekanntschaften“ eher oberflächlich, oder ist Pi die Cheftranzsedenz? Gibt es also das pi-Universum?
Karl-Heinz
4 : 5 ist nicht trivial, das ist in der Musik eine große Terz .Dagegen ist der Toyota Tercel nur eine kleine Terz.
Merke: Der Tercel ist für dich tabu. Nimm den Toyota Crown (wenn es den noch gibt)
Halo-halo
nichts leichter als das
a = 1 = ungerade
b = 2 = gerade
c = 3 = ungerade…….
z = 26 = gerade
Du kannst auch den ASCII – Code nehmen
a = 65 = ungerade
b = 66 = gerade
c = 67 = ungerade usw.
Für Karl Heinz ergibt sich
Karl = u u g g … .Verhältnis…. 2 : 2
Heinz = g u u g g….Verhältnis.2 : 3 Jetzt musst du nur noch addieren
…………………………………_____
………………………………….4 : 5
Frisch ans Werk !
Das ist mir jetzt wirklich zu albern. Ich bin raus.
alex
don`t worry, be happy !
Bei der Addition der Brüche ist tatsächlich ein Fehler unterlaufen. Der geneigte Leser kann ja den Fehler finden.
@81hwied
Halo-halo
nichts leichter als das.….
Nicht ganz das worauf ich gespannt war, aber immerhin ein verblüffender Ergebnis, alle Achtung. Zufälle ist/sind was dir zufällt wenn dir anderes nicht einfällt.
https://de.wikipedia.org/wiki/Bailey-Borwein-Plouffe-Formel
Intellektuelles Stretching soll den Geist agil und jung halten – kann albern wirken wenn man es angeht, aber auch befreiend.
Halo-halo
du hattest wahrscheinlich Zahlenmysik erwartet.
dabei sind die werte anders festgelegt.
h = existiert nicht
a = 1
l =30
o = 70 Summe = 101 = prim = not bad for ola !
@hwied
Pi auf 1 Million Nachkommastellen
Anzahl der gerade Ziffern: 499.748
Summe der geraden Ziffern: 1.998.140
Anzahl der ungerade Ziffern: 500.252
Summe der ungeraden Ziffern: 2.501.794
Verhältnis: Ziffernsumme_ungerade / Ziffernsumme_gerade
= 1,252061417…
Super Karl-Heinz
Wieder ein Geheimnis weniger.
@hwied
Pi auf 1 Million Nachkommastellen
Beispiel:
Abstand der Ziffer 0 zum Nachfolger 0:
…xxx0xxxx0… = 5
Ziffer 0
kleinster Abstand:1
größter Abstand: 114
Ziffer 1
kleinster Abstand: 1
größter Abstand: 127
Ziffer 2
kleinster Abstand: 1
größter Abstand: 129
Ziffer 3
kleinster Abstand
größter Abstand
Ziffer 4
kleinster Abstand
größter Abstand
Ziffer 5
kleinster Abstand
größter Abstand
Ziffer 6
kleinster Abstand
größter Abstand
Ziffer 7
kleinster Abstand
größter Abstand
Ziffer 8
kleinster Abstand
größter Abstand
Ziffer 9
kleinster Abstand
größter Abstand
Karl – Heinz
auffällig ist die Null.
alex
Zitat:“ Pi ist einfach eine Zahl, und ist rein abstrakt definiert, ohne Bezug auf die physische Realität.“
Pi ist zwar abstrakt definiert hat aber einen physikalischen Bezug.
Die Kepler-Konstante C stellt einen Bezug her zwischen der Umlaufzeit eines Planeten und dessen Radius C = T²/r³
Und da sich C auch aus dem Gravitationsgesetz herleiten lässt als 4(Pi)²/G(M+m), hat Pi auch eine physikalische Natur.
Sieh an, sieh an,
Avi Wigderson, der diesjährige Gewinner des Abel Preises hat sich mit den Zufallszahlen beschäftigt.
Was ist zufällig bei den Nachkommastellen von Pi und was ist determiniert.
Oder genauer gefragt, ab wann ist eine Ziffernfolge zufällig, und ab wann hat sie eine Struktur ?
Und jetzt die letzte Frage, gibt es überhaupt Zahlenfolgen, die keine Struktur haben ?
(dabei dachte ich an die natürlichen Zahlen und an die Primzahlen)
@ #87 hwied
Genau! Ein bisschen MatheWoodoo, z.B. wie ich sie in meiner Jugend von einem Friseur erlebte. Der sagte man habe in England einen Weg gefunden Einschlafstörungen der Frau zu errechnen. Dazu genügte eine beliebige 3stellige Zahl (tatsächlich: fast beliebig) und schrieb die Worte sleep und night auf ein Papier. Die Buchstaben wurden mit 0 – 9 durchnummeriert. Dann durfte jemand sich eine Zahl ausdenken die er ebenfalls hinschrieb.
Die wurde umgedreht und darunter notiert, anschließend subtrahiert, das Ergebnis erneut umgedreht und diesmal addiert. Anschließend wurde mit 38, oder 40 multipliziert und dann das Ergebnis in Buchstaben mittels der erstellten Tabelle verwandelt. Und siehe da…
@ # 90 karl-heinz
Und nun vielleicht doch noch kurz zu Pi’s Millionen Kommastellen.
Sind die Ziffern innerhalb der längsten Intervalle (rd. 130) immer konstant verteilt? Wo doch die Null eine Auffälligkeit zeigt. Gemeint sind natürlich alle Ziffern innerhalb aufeinanderfolgenden Intervalle.
halo-halo
Mathe muss Spass machen, wir brauchen viel mehr Mathematiker.
Es gibt einen Science-Fiction-Roman , indem ein Krieg geführt wird um den letzten Menschen, der noch rechnen kann.
# 95 Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft hängen zusammen da an jeder Position der Raumzeit ein ähnliches, nicht das Selbe aber das gleiche Universum existieren.
#96
Das klingt für mich wie experimentelle Tranzsedenzphysik mit der Beschreibung der ALLGGENWART. Wenn jetzt noch Materie als Aggregatzustand der Energie auftaucht, wobei beliebig viel solcher Materie in ein SL passt, solange bis der Raum dort partiell kollabiert und die gefrorene Energie als dunkle Materie freigibt, findet das meinen Zuspruch. Also Spass mit Matte.
B.Nowotnick
Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft sind nur Worte.
De bekommen einen Sinn, weil wir Individuen sind und sterben müssen.
Atome sind keine Individuen, die bestehen aus Quarks, die wiederum als Energie gesehen werden können.
Und Energie hat keine Vergangenheit, keine Gegenwart und keine Zukunft. Die ist nach gängiger Theorie ewig.
#95
Creativitaet ist der Teil in unserem rationalem System den man nicht erwirbt indem man ihn studiert.
Da ist ein Bauer besser dran: Acker vorbereiten, säen, pflegen, ernten.
Wir brauchen mehr Bauern damit die Spassvögel in ihrem Krieg nicht verhungern müssen. Raumschiffe mit bioneuralen Netzwerken die sich effektiv programmieren lassen und eine interne Lebenserhaltung haben klingt derart abgehoben, dass man Angst haben muss zum SchaltGreis gemacht zu werden. Spass macht Spass solange es beim Spass bleibt.
#98 Man sollte den Vorgang des Rechnens, welcher mit dem Leben zu tun hat, nicht mit Mathematik verwechseln. Mathematik ist organisieren mit Verantwortung, wobei rechnen ebenfalls mit Verantwortung, also wo befinde ich mich gerade, aber auch mit Gefühlen zu tun hat. Mathematik ist wenn sie nicht missbraucht wird wertfrei. Richtig ist Mathematik nur wenn sie mit der Messung und dem Gleichgewicht ohne Cut-Off beim Rechnen übereinstimmt. Gerechnet wird mit Werten. Ein Schritt zurück -1 ist alles was war und ein Schritt vor die Zukunft in die Unendlichkeit. Egal wo ich mich in der Raumzeit befinde ist sie nach allen Seiten selbstähnlich. Ich befinde mich bei einer Nullstelle der Raumzeit und vergleiche von 1 bis ∞, zähle also vor und zurück. Die leere Menge und die Unendlichkeit sind damit im Innen und Außen als Spiegel gegensätzlich in der Dimension als Menge geschlossen.
Bernd Nowotnick,
In der Mengenlehre ist die leere Menge leer. In ihr ist nichts, rein gar nichts, deshalb braucht man nur eine leere Menge und per Definition gibt es auch nur eine leere Menge.
Bei der Unendlichkeit geht es bunter zu, da gibt es „abzählbar unendlich“ und „überabzählbar unendlich“.
Es ist schon paradox, dass wir in eine Menge unendlich viel hineinstecken können.
#101 Eine Definition ist von der richtigen Position der Mathematik oder auch der Mengenlehre unbedingt notwendig um einen festen Punkt zu vereinbaren. Von einer anderen Position einem anderen Punkt aus ist es Glaube, weil es ein anderer Punkt ist. Wer weiß ob es eine Absicht ist? -> Niemand hat die Absicht eine Mauer zu bauen oder es zu verschweigen!? Ein Punkt ist per Definition leer, von einer anderen Position aus kann es eine unendliche Linie sein.
BN
ganz genau.
Ein Maulwurfsloch sieht aus 100 m Höhe aus wie ein Punkt. Wenn man eine andere Position einnimmt, also gräbt, trifft man den Maulwurf . Und dann geht es unaufhaltsam weiter bis zum Erdmittelpunkt und noch darüber hinaus. Übrigens ist der Erdmittelpunkt auch nur ein Punkt. Ich bezweifle aber dass der Erdmittelpunkt leer ist.
#103 Wenn es keine Störung gibt kann der Sternpunkt am Drehstrom-Trafo so bezeichnet werden:
Metronen sind die Umfänge der Zeit mal Raumrichtung oder auch Raumrichtung mal Raumrichtung. Die allgemeine Relativitätstheorie erklärt sich beim Rechnen von entsprechenden Schritten bei einem Raumabstand mit einer Zeiteinheit je nach dem in welche Richtung die Beobachter/Teilchen driften. Die Geschwindigkeitsdifferenz (Strom) der Beobachter/Teilchen und die Torsion (Spannung) entstehen durch gleichzeitige Berechnung aller Richtungen der Beobachter/Teilchen gegeneinander, wobei sich die Frequenzen aus den Umfängen U1=a*π, U2=b*π, U3=c*π und U4=t*π ergeben. Der Umfang entspricht dabei dem eines Kreises dessen Durchmesser gleich der Breite des Gleichdicks ist. Die drei Frequenzen relativ-innen-außen gegeneinander entstehen beim abrollen der gleichseitigen Dreiecke von jedem Eckpunkt beim Ziehen eines Kreisbogens der durch die gegenüberliegenden Ecken verläuft. Drei Kreisbögen auf einem Schritt zusammen bilden das Dreieck in der Spur des Umfangs wobei das Dreieck im Quadrat rotiert und zu jedem Zeitpunkt der Beobachter alle vier Ecken und Seiten berührt aber sich niemals außerhalb des Quadrates befindet. Die Torsion verschwindet dann an den Nullstellen der gemeinsamen Resonanzen, idealisiert im symmetrisch belasteten Drehstromnetz bei guter Isolierung im Netz der Sternpunkt am Speisetrafo. Kein Strom und keine Spannung aber wehe dem ich störe das Gleichgewicht.
BN
Bei einem Dreiphasen -Drehstrom -Transformator sind die drei Eisenkerne zu einem Stern zusammengefasst, nicht die Wicklungen. Man kann deshalb nicht von einem Punkt im physikalischen Sinne sprechen.
#105 Wenn der eine von Birnen redet und der andere von Äpfeln ist das wieder Mengenlehre.
Im Eisenkern ist dabei das Galvanische also die Richtung bei der Mathematik der Elektrotechnik Nord und Süd als Information des Magnetismus entscheidend, somit der Potentialhauptwirbel an der jeweiligen Position im Eisenkern. Im Kleinsten ist es da sicher auch wieder selbstähnlich. Diese Verschiebung ist in der Natur geschlossen. Ich meinte eher die elektrischen Hauptwirbel, sprich die drei Stromkreise, welche sich aber auch nur symbolisch und in der Mathematik der Elektrotechnik zu Null in diesem Sternpunkt am Trafo addieren und damit die elektrische Verschiebung an dieser Stelle null oder leer ist.