Live von der HCM 7 Konferenz: Tag 3

Wie gestern versprochen ist der heutige Tag stark von der Mathematik und der Chaostheorie dominiert. Die ist auch sehr wichtig für die Himmelsmechanik – Überall, wo sich mehr als 2 Himmelskörper gegenseitig beeinflussen, kann theoretisch Chaos auftreten. Himmelsmechaniker sollten sich daher einigermassen gut mit der wissenschaftlichen Behandlung des Chaos auskennen. Es ist auch tatsächlich so, dass sehr viele Ergebnisse der Chaostheorie von Astronomen gelieferte wurden. Ich selbst habe in meiner Diplomarbeit über Methoden zur Untersuchung nichtlinearer, chaotischer Systeme geschrieben und nicht direkt über Astronomie.

So wichtig diese mathematischen Grundlagen auch sind, so trocken sind sie leider auch. Dementsprechend technisch hat auch der heutige Tag begonnen. Antonio Giorgilli (Universität Mailand, Italien) sprach über „Kolmogorov and Nekhoroshev theory for the problem of three bodies“ (Kolmogorov- und Nekhoroshev-Theorie für das Dreikörperproblem). Kolmogorov hat (gemeinsam mit Arnold und Moser) in den 1950ern das sg. „KAM-Theorem“ aufgestellt. Dieser mathematische Satz stellt die Grundlage der modernen Chaostheorie dar und beschreibt, wie sich ein dynamisches System unter dem Einfluss von Störungen verhält und wie stark diese Störungen sein können, bevor chaotische Zustände auftreten können. Giorgilli hat dieses Theorem nun auf die Bewegung von Jupiter und Saturn um die Sonne angewandt und gezeigt, dass deren Bewegung auch für sehr lange Zeiten stabil verläuft. Und im Gegensatz zu rein numerischen Simulationen hat er dies mathematisch-analytisch bewiesen.

Der folgende Vortrag von Maximilliano Guzzo zum Thema „Hyperbolic manifolds supporting Arnold diffusion in dynamical systems“ (Hyperbolische Mannigfaltigkeiten unterstützen die Arnold-Diffusion in dynamischen Systemen) war leider zu technisch um ihn hier in wenigen Sätzen zusammenfassen zu können. Im Prinzip ging es aber auch hier um die mathematische Behandlung der chaotischen Eigenschaften dynamischer Systeme.

Auch nach der Kaffeepause ging es hochmathematisch weiter. Marko Robnik (Universität Maribor, Slowenien) sprach über „Exact analysis of the adiabatic invariante in time-dependet harmonic oscillators“ und Christos Efthymiopoulos (Akademie der Wissenschaften, Griechenland) über „Anistropic Nekhoroshev stability“. Beide Themen lassen sich ohne große Aufwand kaum vernünftig erklären – darum gehe ich gleich weiter zum letzten Vortrag des Vormittags.

Tassos Bountis (Universität Patras, Griechenland) sprach zum Thema „Periodic Orbits, bifurcations and stability in the Sitnikov N-body problem“ (Periodische Bahnen, Birfurkationen und Stabilität im N-Körper Sitnikov Problem). Das „Sitnikov-Problem“ ist eine sehr originelle und interessante Aufgabenstellung der Himmelsmechanik. In seiner ursprünglichen Form besteht es aus 2 großen, gleich schweren Körpern (Sternen), die sich auf einer kreisförmigen Bahn um ihren gemeinsamen Massenschwerpunkt bewegen. Ein dritter, kleinerer Körper (Planet) bewegt sich nun auf einer Bahn, die um 90 Grad zur Bewegungsebene der Sterne geneigt ist. Die Sterne bewegen sich also in einer Ebene und der Planet bewegt sich entlang einer Linie, die senkrecht durch den Massenmittelpunkt geht, auf und ab. Das folgende Bild zeigt das recht schön.

m1 und m2 sind die Sterne und m3 ist der Planet der sich senkrecht durch den Massenschwerpunkt entlang der z-Achse bewegt. Natürlich ist es nur schwer vorstellbar, das so ein Planetensystem auch in Wirklichkeit existiert. Das Sitnikov-Problem stellt aber einen exzellenten Spezialfall der allgemeinen Bewegung von drei Körpern dar. Mit diesem einfachen Modell lassen sich die Eigenschaften eines chaotischen Systems sehr gut untersuchen – und deswegen wird es auch schon seit Jahrzehnten immer wieder von Wissenschaftlern als Ausgangsmodell für weitere Studien benutzt. Tassos Bountis hat nun in seiner Arbeit untersucht, was passiert, wenn man nicht von 2 Sternen ausgeht, sondern von 3, 4 oder noch mehr. Abhängig von der Anzahl der Sterne, die sich in der Ebene um ihren gemeinsamen Massenschwerpunkt bewegen, ändern sich auch die Eigenschaften des dritten Körpers. Bountis hat berechnet unter welchen Bedingungen dessen Bewegung chaotisch und wann sie regulär verläuft. Im „normalen“ Sitnikov-Problem gibt es unendlich viele Bereiche an möglichen Anfangsbedingungen, die zu regulärer Bewegung führen. Sobald aber mehr als 2 Sterne vorhanden sind, gibt es nur noch ein einziges Interval. Er hat ausserdem untersucht, was passiert, wenn sich der dritte Körper nicht genau über dem Schwerpunkt befindet sondern irgendwo anders über der Bewegungsebene der Sterne. Das Sitnikov-Problem gehört zu den Problemstellungen, die ich persönlich sehr faszinierend finde – ich denke, ich werde darüber mal einen eigenen, ausführlichen Beitrag schreiben müssen!

Natascha Todorovic (Universität Belgrad, Serbien) war die erste Sprecherin nach der Mittagspause. Sie hielt ihren Vortrag zum Thema „Local and Global Diffusion in the Arnold Web of a priori Unstable Systems“ (Lokale und globale Diffusion im Arnold-Netz eines a priori instabilen Systems). Auch das ist wieder ein sehr kompliziertes Thema das schwer zu beschreiben ist. Das, was hier untersucht wurde ist ein sg. „Mapping“. Ein Mapping ist nichts anderes als eine Abbildungsvorschrift. Wenn z.b. ein Punkt in einer Ebene gegeben ist, sagt einem das Mapping, wie man daraus einen neuen Punkt in der Ebene berechnet. Und dieser Punkt ist dann wieder der Startpunkt für den nächsten; usw. Diese Mappings können verwendet werden, um die verschiedensten physikalischen Prozesse zu beschreiben. Ausserdem lassen sie sich – im Gegensatz zu den Differentialgleichungen die man sonst für die Beschreibung verwendet – sehr einfach und schnell berechnen. Darum werden sie auch von den Chaostheoretikern so gerne verwendet. Natascha hat nun so ein spezielles Mapping untersucht und dessen Eigenschaften beschrieben. Mit Mappings lässt sich die Gesamtheit der verschiedenen Zustände, die ein System annehmen kann sehr anschaulich darstellen und man kann auch die unterschiedlichen chaotischen bzw. regulären Bereiche schön unterscheiden.

Haris Skokos (MPI PKS, Deutschland) sprach als nächster über „Detecting chaos, determining the dimension of tori and predicting slow diffusion in Fermi-Pasta-Ulam lattices by the generalized alignment index (GALI) method“ (Detektieren von Chaos, Bestimmung der Dimension eines Torus und Vorhersage der langsamen Diffusion in Fermi-Pasta-Ulam Gittern mit der Methode der verallgemeinerten Ausrichtungindizes (GALI)). Hinter diesem gewaltigen Titel verbirgt sich ein sehr interessantes Thema: Chaosindikatoren. Normalerweise muss man oft sehr lange rechnen um feststellen zu können, ob ein bestimmter Anfangszustand eines Systems zu chaotischer oder regulärer Bewegung führen wird. Da man zur Untersuchung vieler System oft enorm viele Anfangsbedingungen überprüfen muss, resultiert in sehr langen Rechenzeiten am Computer. Das möchte man natürlich gerne vermeiden und hat deshalb die Chaosindikatoren erfunden. Das sind Parameter, die es erlauben schon viel früher und schneller herauszufinden, ob ein Zustand chaotisch oder regulär ist. Im Prinzip wird dabei auf verschiedenste Weisen nach subtilen Anzeichen des Chaos gesucht die anders kaum „sichtbar“ sind. Es gibt auch eine spezielle Art von chaotischer Bahnen, die man „sticky“ nennt. Das sind Bahnen, die obwohl sie chaotisch sind, für sehr lange Zeiten so aussehen, als wären sie regulär. Wenn man gute Chaosindikatoren hat, dann kann man auch solche Bahnen schon frühzeitig identifizieren. Haris hat in seinem Vortrag einen neuen Chaosindikator vorgestellt der sehr effizient und schnell zu sein scheint. Auch die oben erwähnten „sticky“ Bahnen lassen sich damit finde.

Der Vortrag von Christian Theis (Universität Wien, Österreich)  zum Thema „Velocity Distribution in Spiral Galaxies“ musste leider ausfallen da Christian krank wurde.

Zum Abschluss des Tages gab es dann aber noch das obligatorische Gruppenfoto: