Da ja heute große Teile der Leserschaft das Glück haben einen Feiertag inklusive langem Wochenende begehen zu können (hier in Jena ist ein normaler Arbeitstag) habe ich etwas zum Nachdenken für euch rausgesucht falls euch bei all der freien Zeit plötzlich langweilig werden sollte. Und worüber könnte man besser nachdenken als über die mathematische Logik!
Dass die Mathematik großartig und vor allem auch ein großartiges Werkzeug ist habe ich schon oft erzählt (und erzähle es jede Woche aufs Neue). Das liegt vor allem auch an ihrer Fähigkeit absolut gültige und verbindliche Aussagen machen zu können. Die Naturwissenschaft kann das nicht, sie kann nur möglichst plausible und gut belegte Theorien aufstellen die aber im Prinzip alle immer widerlegt und durch noch bessere Theorien ersetzt werden können. In der Naturwissenschaft kann man nur einwandfrei feststellen ob etwas falsch ist. In der Mathematik aber kann man darüber hinaus auch ebenso einwandfrei beweisen das etwas richtig ist.
Aber dann kam der österreichische Logiker Kurt Gödel und hat einen recht großen Knüppel in das Getriebe der Mathematik geworfen. In seinem „Unvollständigkeitssatz“ aus dem Jahr 1931 hat er behauptet das es mathematische Aussagen gibt die zwar einerseits richtig sind bei denen es aber unmöglich ist auch zu beweisen das sie richtig sind. Und zwar nicht weil die Mathematiker zu blöd dafür sind, sondern weil es prinzipiell nicht geht. Die Mathematik ist nicht mächtig genug um diese unentscheidbaren Sätze zu beweisen. Eine starke Aussage – und noch dazu die Gödel mathematisch einwandfrei beweisen konnte!
Nehmen wir zum Beispiel die berühmte Goldbach-Vermutung: „Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen.“. Klingt simpel, ist leicht zu verstehen und trotzdem seit 1742 unbewiesen. Nun kann es durchaus ein wenig länger dauern bis eine mathematische Aussage einwandfrei bewiesen oder widerlegt ist; beim Satz von Fermat hat es 350 Jahre gedauert. Es kann aber auch sein dass Goldbachs Vermutung genau so eine unentscheidbare Aussage ist von der Gödel gesprochen hat. Dann können wir uns noch so sehr anstrengen einen Beweis ihrer Gültigkeit zu finden und werden trotzdem keinen Erfolg haben. Und – das ist das hinterhältige – selbst dann wenn die Goldbach-Vermutung völlig richtig ist.
Der englische Mathematiker Marcus du Sautoy fasst die Bedeutung und die Auswirkungen von Gödels Arbeit in diesem Video noch einmal zusammen:
Und wer sich jetzt denkt: „Moment! Das ist irgendwie komisch – Gödel muss sich geirrt haben!“ und der Meinung ist er/sie könne das mal eben mit ein paar Sätzen im Kommentarbereich beweisen… dann solltet ihr berücksichtigen dass es sich hier um ein wirklich komplexes Thema handelt das sich nur sehr schwer kurz, knapp und allgemeinverständlich darstellen lässt. Ich erinnere mich noch wie ich mir selbst zu meinem 20. Geburtstag im Jahr 1997 das hervorragende Buch „Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid“* (auf deutsch: „Gödel, Escher, Bach – ein Endloses Geflochtenes Band“*) von Douglas Hofstadter geschenkt und dann den Rest des Sommers mit der Lektüre verbracht habe. Es ist ein dicker Wälzer mit über 800 Seiten – aber am Ende versteht man den Unvollständigkeitssatz von Gödel nicht nur sondern bekommt auch einen ziemlich guten Einblick in die dem ganzen zugrunde liegende Mathematik. Ihr solltet also zumindest dieses Buch gelesen haben, bevor ihr euch an eine Revolution der Mathematik macht 😉 Abgesehen davon solltet ihr dieses Buch sowieso gelesen haben; es ist einer der ganz großen Klassiker in der Wissenschaftsvermittlung – eigentlich ein ganz großer Klassiker unter den Sachbüchern allgemein (und falls ihr es lieber ein wenig belletristisch haben wollt, dann empfehle ich euch die romanhafte Biografie „Die Göttin der kleinen Dinge“).
Viel Spaß mit Kurt Gödel und dem Feiertag! (Und weil der ja ein religiöser Feiertag ist: Nein, Kurt Gödel hat die Existenz Gottes nicht bewiesen).
Es gibt übrigens eine ganze Industrie die ihrer Arbeit behauptet, sie hätten Gödel widerlegt. Das ist die „Virenscannerindustrie“. Die behaupten inzwischen, sie könnten feststellen, was ein Programm macht, ohne es auszuführen… bzw ohne es genau unter den gleichen Bedingungen auszuführen die auch auf dem Zielsystem herrschen.
Es kann aber auch sein dass Goldbachs Vermutung genau so eine unentscheidbare Aussage ist von der Gödel gesprochen hat. Dann können wir uns noch so sehr anstrengen einen Beweis ihrer Gültigkeit zu finden und werden trotzdem keinen Erfolg haben. Und – das ist das hinterhältige – selbst dann wenn die Goldbach-Vermutung völlig richtig ist.
Noch verrückter: wenn es tatsächlich so ist das die Goldbach Vermutung Unentscheidbar ist, dann ist sie wahr, denn wäre sie falsch könnte man ein Gegenbeispiel finden und dann wäre es entschieden. Also wäre es auch dann auch unentscheidbar ob die Goldbach Vermutung unentscheidbar ist, denn könnte man Beweisen das sie unentscheidbar ist wäre sie wahr und das wär ein Widerspruch.
@sax: „Noch verrückter“
Ja, das spricht du Sautoy im Video auch an. Mit so einer Taktik wurde ja auch schon mal ein größere Satz bewiesen; mir fällt nur grad nicht ein was für einer das war.
Wäre für Gödels Unvollständigkeitssatz (bzw -sätze) durchaus machbar. Zumindest mit dem üblichen Schlenker ‚Details verbleiben dem Leser als Übung‘.
Als Querverweis jedoch uneingeschränkt machbar.
Hier nicht exakt. Und in Englisch – ’80 auch kaum anders möglich.
Dafür war der Durchlese-Effekt derselbe…
Du hast glaube ich Teil 2 und 3 vergessen 😉
https://www.youtube.com/watch?v=mccoBBf0VDM
https://youtu.be/7DtzChPqUAw
Der Hofstadter ist eine gute Lektüre. Hab ihn schon mehrfach gelesen. Auch die Fortsetzung von Gödel, Escher Bach … , Hofstadter „Metamagicum“ ist eine gute Lektüre zu Gödel. Hier kommen auch noch andere Denkansätze ins Spiel. Auch Hofstadter „I Am a Strange Loop “ geht auf den Denkansatz Gödels ein und verknüpft ihn mit Erkenntnissen aus Physik, Neurowissenschaften und Philosophie.
Die spinnen, die Österreicher! 😉
Der Satz von Gödel über die Nichtexistenz widerspruchsfreier logischer Systeme ist aber noch ein anderer, oder?
@Captain E: Doch, das ist genau dieser Satz
….Gödel , Escher , Bach,
dieses Buch hat bei mir einen Ehrenplatz. Es liest sich wie ein Kriminalroman und Comic zugleich. Vorallem werden einem die Grenzen der Sprache und die Grenzen der Mathematik klar gemacht.
Schöner Artikel über eins meiner Lieblingsthemen 🙂 Die Grundidee des Beweises ist gar nicht so schwer zu verstehen (wieder einmal ein klassisches Diagonalargument), aber der Weg dahin, oh je 😀
Zwei Anmerkungen noch: Der Satz bedeutet nicht erstmal nicht, dass es Aussagen gibt die prinzipiell unbeweisbar sind, sondern nur dass diese Aussagen im Rahmen einer bestimmten Theorie unbeweisbar sind. Beispiel Goldbach-Vermutung – wenn die Annahme ist, dass die normale Zahlentheorie unvollständig ist (was tatsächlich der Fall ist), dann wäre die Goldbach-Vermutung eventuell ein Beispiel für eine solche innerhalb dieser Theorie unbeweisbare Aussage. Das heisst aber erstmal nicht, dass man dafür nicht einen Beweis z.B. mittels transfiniter Induktion o.ä. finden könnte, also von „ausserhalb“ der betratchteten Theorie. Der Satz trifft also eine Aussage über die Mächtigkeit bestimmter Theorien, nicht über einzelne Sätze. Das wird gerne durcheinandergebracht.
Zweitens: Es gibt durchaus *vollständige* (im Sinne des Gödelschen Satzes) nicht triviale Theorien 😉
@Captain E: Das ist im wesentlichen derselbe Satz, leicht anders eingekleidet, sofern Du das wichtige Wort „vollständig“ noch in Deiner Aussage ergänzt 🙂
Ein gutes Buch, das kann ich auch jedem nur empfehlen!
Gödels Unvollständigkeitssätze
https://youtu.be/BN0rF5lv4Nc
Servus,
ich habe das etwas trockenere aber dafür wesentlich dünnere Buch Nagel/Newman: Der Gödelsche Beweis gelesen und hatte danach schon das Gefühl Gödel verstanden zu haben. War zwar anstrengend zu lesen, mir hat es trotzdem gut gefallen.
lg, f.
> Ich erinnere mich noch wie ich mir selbst zu meinem 20. Geburtstag im Jahr 1997 das hervorragende Buch “Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid”* (auf deutsch: “Gödel, Escher, Bach – ein Endloses Geflochtenes Band”*) von Douglas Hofstadter geschenkt und dann den Rest des Sommers mit der Lektüre verbracht habe. Es ist ein dicker Wälzer mit über 800 Seiten – aber am Ende versteht man den Unvollständigkeitssatz von Gödel nicht nur sondern bekommt auch einen ziemlich guten Einblick in die dem ganzen zugrunde liegende Mathematik.
Dieses Buch steht auch in meinem Bücherregal, fast seit seinem Erscheinen. Mein guter Einblick in die Mathematik: Man soll es nicht übertreiben. Physik ist ein akzeptabler Kompromiss.
Ist es gerechtfertigt, davon zu sprechen, daß die Sätze, die man weder beweisen noch widerlegen kann, wahr sind? Eigentlich sind diese Sätze doch unentscheidbar.
Als schönes Beispiel für solch eine unentscheidbare Behauptung sehe ich die Kontinuumshypothese: Es lässt sich weder beweisen noch widerlegen, daß es unendliche Mengen mit einer Mächtigkeit gibt, die zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen (Abzählbarkeit) und der Mächtigkeit der reelen Zahlen (die als kleinste mögliche überabzählbare Mächtigkeit angenommen wird) liegt.
Es könnte sein, daß es eine solche Menge gibt, aber wir werden niemals in der Lage sein, eine solche Menge konkret anzugeben. Denn wenn es eine Möglichkeit gäbe, solch eine Menge mit irgendeinem Formalismus konkret zu definieren, wäre das ja ein konstruktiver Beweis ihrer Existenz. Aber wir können auch nicht beweisen, daß es solch eine Menge nicht gibt.
Sollen wir nun einfach davon ausgehen, daß die Kontinuumshypothese gilt? Sollen wir annehmen, daß es also eine solche Menge geben muß?
Für die Goldbach-Vermutung wird der Beweis mit Zahlentheoretischen Mitteln nicht mehr lange auf sich warten. Die Fortschritte im letzten Jahrhundert dazu waren beachtlich. Siehe auch Meilensteine der Lösungsversuche zur Goldbach-Vermutung:
https://www.zib.de/fackeldey/publications/GoldbachFackeldey.pdf
@Daniel Rehbein, #15
Es ist inzwischen bewiesen, dass die Kontinuumshypothese eine solche Aussage i.S. von Gödel ist. Zitat aus Wikipedia (ZFC = Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxion):
In den 1960er Jahren zeigte Paul Cohen mit Hilfe der Forcing-Methode:Aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre lässt sich die Kontinuumshypothese nicht beweisen!
Anders ausgedrückt: Auch die Negation der Kontinuumshypothese ist zu ZFC relativ widerspruchsfrei; die Kontinuumshypothese ist also insgesamt unabhängig von ZFC. Für diesen Beweis erhielt Cohen 1966 die Fields-Medaille. Daher kann die Kontinuumshypothese im Rahmen der Standardaxiome der Mengenlehre weder bewiesen noch widerlegt werden. Sie kann, ebenso gut wie ihre Negation, als neues Axiom verwendet werden. Damit ist sie eines der ersten relevanten Beispiele für Gödels ersten Unvollständigkeitssatz.
Wenn hier von „relevanten Beispielen“ die Rede ist, so ist damit das von Gödel in seiner Arbeit konstruierte (Prinzip-Formulierung): „Diese Aussage ist nicht beweisbar“ gemeint – in der Praxis offensichtlich irrelevant.
Ich bezog mich in meinem Kommentar auf den Satz „In seinem Unvollständigkeitssatz aus dem Jahr 1931 hat er behauptet, daß es mathematische Aussagen gibt, die zwar einerseits richtig sind, bei denen es aber unmöglich ist, auch zu beweisen, daß sie richtig sind“.
Innerhalb des jeweils vorgegebenen Axiomensystems sind die Aussagen, die sich weder beweisen noch widerlegen lassen, nicht richtig, sondern unentscheidbar.
Wenn wir hingegen eine solche Aussage (bzw. ihr Gegenteil) als zusätzliches Axiom hinzunehmen, dann ist diese natürlich richtig (bzw. falsch), aber in diesem erweiterten Axiomensystem ist die Aussage kein Beispiel mehr für den Unvollständigkeitssatz.
Wenn wir die Kontinuumshypothese als Axiom zur Mengenlehre hinzunehmen, dann ist sie einerseits richtig, andererseits aber auch trivial beweisbar (In einem widerspruchsfreien Axiomensystem ist jede Aussage, die mit einem Axiom identisch ist, trivialerweise wahr).
Ich finde die Kontinuumshypothese immer wieder toll, weil sie so schön (d.h. auf durchaus für den Laien noch verständlichem Niveau) zeigt, womit man sich in der Mathematik beschäftigen kann, was man sich anschaulich nicht mal ansatzweise vorstellen kann: Wir dürfen (weil widerspruchsfrei) definieren, daß die Kontinuumshypothese gilt. Diese Definition bedeutet, daß es unendliche Mengen zwingend geben muß, deren Mächtigkeit echt zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt. Aber wir haben null Chance, irgendwie zu einer Anschauung zu kommen, zu einem Verständnis darüber, was solch eine Menge sein könnte.
Wurde schon bewiesen, dass es keine unendliche Menge gibt deren Mächtigkeit unterhalb der der natürlichen Zahlen liegt? Als Laie denk ich da z.B. an die Menge der Primzahlen.
@Jens: Das es unendlich viele Primzahlen gibt hat man schon in der Antike bewiesen. Und die simpelste unendliche Menge ist ja die abzählbare Unendlichkeit (1,2,3, und so weiter…). Das gilt für die Primzahlen. Und es kann auch nix geben, dass weniger als abzählbar und trotzdem unendlich ist…
@Florian Freistetter:
Nun, das käme dann auf eine geeignete Definition an. Das müsste dann allerdings eine sein, die die Mengen der natürlichen, der ganzen und der rationalen Zahlen definitiv ausschlösse. Andernfalls fiele der Beweis leicht, dass die neue Kategorie zur bestehenden „Abzählbarkeit“ äquivalent oder sogar identisch wäre. Eine Unterteilung der unendlichen Mengen gibt es aber schon seit langem, da es neben „abzählbaren“ auch „überabzählbare“ Mengen gibt, wie etwa die Menge der rellen Zahlen. Die Menge der Primzahlen als Teilmenge der natürlichen Zahlen erfüllt aber ganz sicher die Kriterien an „Abzählbarkeit“. Überabzählbar ist sie ganz sicher nicht.
@CaptainE: „Das müsste dann allerdings eine sein, die die Mengen der natürlichen, der ganzen und der rationalen Zahlen definitiv ausschlösse.“
Definieren kann man viel. Aber wie bitte willst du eine Unendlichkeit hindefinieren die nicht bzw. weniger als abzählbar unendlich ist? Das erscheint mir widersprüchlich.
@Florian Freistetter:
Nun ja, auch nicht widersprüchlicher als das, was man mit den reellen Zahlen getan hat. Natürliche, ganze und rationale Zahlen sind unendliche Mengen. Reelle Zahlen sind das auch, und trotzdem hat man die Unterscheidung getroffen zwischen „abzählbar“ und „überabzählbar“. Eine überabzählbare Menge spielt damit in einer anderen Liga als eine abzählbare Menge. Wie genau nun die Definition aussehen sollte für eine unendliche Menge, die weder abzählbar noch überabzählbar sein solle, kann ich dir da auch nicht sagen. Ebensowenig kann ich umreißen, warum das Ganze Sinn machen könnte.
@Captain: „und trotzdem hat man die Unterscheidung getroffen zwischen “abzählbar” und “überabzählbar”. „
Ja, und das ist auch eine durchaus nachvollziehbare Unterscheidung.
Ich kann mir halt nur beim besten Willen nicht vorstellen, dass man überhaupt eine Definition finden kann, nach der etwas weniger als abzählbar und gleichzeitig unendlich ist. Das schließt sich gegenseitig aus…
Vielleicht ist das so und eine Definition einer Mächtigkeit von unendlichen Mengen, die unter der von abzählbaren liegt, ist tatsächlich völlig unmöglich. Das wäre dann eine Anwort auf Jens. Das könnte schon daran liegen, wie du es bereits angedeutet hattest, dass bei einer Definition unendlicher Mengen auf niedrigerem Niveau die bisherige Definition für „abzählbar“ angepasst und eine untere „Schranke“ bekommen müsste.
Die Frage wäre aber auch, wofür man eine solche Unterscheidung nutzen könnte, falls es sie gäbe?
@Captain E.
Eine Menge besteht immer aus eindeutig identifizierbaren Elementen. Die kann man zunächst mal alle einzeln zählen. Bei einer abzählbaren Menge kann man sie zusätzlich in eine eindeutige Sortierung überführen, so dass man alle eineindeutig auf die natürlichen Zahlen abbilden kann. Das funktioniert z.B. beim Cantorschen Verfahren für Brüche.
Bei den reellen Zahlen geht das nicht, es gibt keine solche Sortierung, die jeder Zahl eine natürliche Zahl eineindeutig zuordnen könnte.
„Unterabzählbar unendlich“ würde bedeuten, dass man keine Abbildung der Mengenelemente auf alle natürlichen Zahlen finden könnte. Hier habe ich einen Beweis gefunden, dass dies für eine unendliche Teilmenge einer abzählbaren Menge nicht möglich ist.
@Alderamin: “ Hier habe ich einen Beweis gefunden“
Vielen Dank!
In meinem Kommentar #18 fehlt im letzten Absatz einmal das Wort „nicht“. Die Formulierung muß lauten: „Wir dürfen (weil widerspruchsfrei) definieren, daß die Kontinuumshypothese nicht gilt.“ Die Kontinuumshypothese besagt ja, daß es keine Menge gibt, deren Mächtigkeit echt zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt. Wenn ich doch eine solche Menge haben möchte, muß ich die Kontinuumshypothese also verneinen, quasi eine doppelte Verneinung.
Der Kommentar #23 von Captain E ist ein schönes Beispiel, wie unvorstellbar für uns Menschen diese Prinzipien von Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit sind. Wir können zwar mathematisch-abstrakt beweisen, daß bestimmte Mengen überabzählbar sind, aber wir können uns darunter nichts vorstellen. In unserer Intuition ist das alles Unsinn.
Für unsere menschliche Vorstellungskraft sind ja die rationalen Zahlen bereits vollständig: Wir können beliebig nah beieinanderliegende rationale Zahlen auswählen, es liegen trotzdem immer noch unendliche viele andere rationale Zahlen dazwischen. Wir können auf der Zahlengeraden der rationalen Zahlen beliebig tief hineinzoomen, ein noch so kleinen Ausschnitt betrachten: So sehr wir uns auch anstrengen, wir werden niemals auf eine Lücke stoßen, sondern immer wieder auf unendlich viele rationale Zahlen. Und trotzdem fehlen Zahlen in der Menge der rationalen Zahlen.
Alleine die Tatsache, daß in den rationalen Zahlen Zahlen fehlen, ist bereits unglaublich. Daß diese fehlenden Zahlen aber dann auch noch erheblich mehr sind als die, die bereits vorhanden sind, das sprengt jegliches Vorstellungsvermögen.
Und dann kommt es ja noch dicker: Wir wissen, daß es überabzählbar viele irrationale Zahlen gibt. Aber höchstens abzählbar viele davon können überhaupt konkret angegeben werden. Denn sobald eine Zahl konkret hingeschrieben werden kann (in Form irgendeiner Berechnungsvorschrift), benutzen wir dafür endlich viele Zeichen eines endlichen Alphabeths. Wir können also allen Zahlen, die konkret angegeben werden können, wieder eine Gödelnummer zuordnen. Und somit können das höchstens abzählbar viele sein.
Die Menge der Zahlen, die sich konkret angeben lassen, bezeichnet man auch als Menge der berechenbaren Zahlen. Es gibt also abzählbar viele berechenbare Zahlen, und entsprechend muß es überabzählbar viele nicht berechenbare (reelle) Zahlen geben.
Obwohl es also eine riesige Menge nicht berechenbarer Zahlen gibt, können wir kein einziges Beispiel dafür benennen. Sobald wir eine Zahl angeben können, ist sie ja berechenbar.
Aber diese nicht berechenbaren Zahlen sind da, sie existieren wirklich! Und es sind überabzählbar viele, also quasi nicht zu übersehen! Sie liegen nicht irgendwo weit weg in höheren Dimensionen, sondern dicht an dicht auf der ganz gewöhnlichen Zahlengeraden, also in der Öffentlichkeit vor unser aller Augen! Und trotzdem bekommen wir sie nicht zu packen! Das ist doch Wahnsinn!
Es ist doch kein Wunder, wenn man als Mathematiker irgendwann verrückt wird.
D. Rehbein
…..Sobald wir eine Zahl angeben können, ist sie ja berechenbar.
Wenn man zu dem Zahlbegriff auch Funktionen hinzuzählt, dann hätten wir den Fall. Es gibt doch sicher Funktionen, die keine Lösung haben. Auf die Schnelle fällt mir gerade keine ein.
Ja, das stimmt. Es sind nicht die berechenbaren Zahlen, sondern die definierbaren Zahlen, für die meine letzten Absätze gelten.
In der theoretischen Information definiert man auf Basis des Halteproblems Funktionen, die zwar wohldefiniert sind, aber nicht berechenbar. Wenn man so eine Funktion verwendet, um damit beispielsweise die Nachkommastellen einer Zahl in einem gewählten Stellenwertsystem festzulegen, dann hätte man eine Zahl, die man zwar wohldefiniert ist, die sich aber nicht berechnen lässt.
Es muß also tatsächlich nicht jede Definition eine Berechnungsvorschrift sein. Umgekehrt ist durch eine Berechnungsvorschrift aber eine Zahl eindeutig definiert. Es ist also die berechenbaren Zahlen eine Untermenge der definierbaren Zahlen.
Aufgrund der bereits geschilderten Überlegung, daß wir für die Definition einer konkreten Zahl immer endlich viele Zeichen eines endlichen Alphabeths verwenden (egal, ob dies mit Formelzeichen passiert oder mit einer texuellen Beschreibung), können dies höchstens abzählbar viele sein.
Meine Ausrufesätze im vorletzten Absatz über die Zahlen, die in überabzählbarer Anzahl direkt vor unseren Augen auf der Zahlengeraden liegen, und an die wir doch nicht herankommen, muß sich auf die nicht definierbaren Zahlen beziehen.
Nur ein paar Richtigstellungen:
1. Mir ist der Begriff der Berechenbarkeit von Zahlen unbekannt. Was soll das sein? M.W. ist diese Eigenschaft nur für Funktionen definiert (die Tupel von natürlichen Zahlen in eine natürliche Zahl abbilden). Wenn damit gemeint sein sollte „es gibt keine berechenbare Funktion mit diesem Ergebnis“, dann sind von vornherein alle irrationalen Zahlen nicht berechenbar (SQRT(2), e, Pi, etc.).
2. Es gibt sehr wohl wahre Aussagen, die nicht beweisbar und nicht widerlegbar sind! S.o. Beispiel: „Diese Aussage ist nicht beweisbar.“ Diese konnte Gödel in seiner Arbeit ausschließlich unter Nutzung von Gödelnummern formulieren. Und zeigen, dass sie eben die gewünschte Eigenschaft besitzt. Und offensichtlich ist sie wahr! Also eben „richtig“, wenn man das als Synonym für „wahr“ akzeptiert.
3. Die Kontinuumshypothese besagt, dass es keine Mächtigkeit gibt, die echt zwischen Aleph-0 (abzählbar unendlich) und Aleph-1 (Mächtigkeit der reellen Zahlen) liegt. Wer immer eine Mathematik bauen will, die die Kontinuumshypothese verneint, muss offensichtlch ein Beispiel für eine Menge angeben, die eine Mächtigkeit zwischen Aleph-0 und Aleph-1 haben soll. Und dabei kann man ja nicht irgendwie draufloswursteln, sondern man muss für seine Beispielmenge dann beweisen (!), dass ihre Mächtigkeit weder Aleph-0 noch Aleph-1 ist. Mir ist nicht bekannt, dass das jemand erfolgreich getan hätte. Üblich ist, die Gültigkeit der K-Hypothese anzunehmen.
4. Als Beispiel für Aleph-1-Mengen benötigt man keineswegs unbedingt die reellen Zahlen. Die Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen 2**N (also alle Folgen aus natürlichen Zahlen) hat ebenfalls die Mächtigkeit Aleph-1.
zu 1: Bei der Berechenbarkeit von Zahlen geht es darum, daß es eine Rechenvorschrift gibt, mit der man die jeweilige Zahl beliebig genau annähern kann. Bei der Definierbarkeit von Zahlen geht es darum, daß es eine Formulierung für die Definition der betreffenden Zahl gibt. Beides ist nur für abzählbar viele Zahlen möglich.
In der englischen Wikipedia gibt es zu beiden Begriffen jeweils einen Eintrag:
https://en.wikipedia.org/wiki/Computable_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Definable_real_number
zu 2: Wenn eine Aussage nicht beweisbar und nicht widerlegt bar ist, dann kann ich sowohl die Aussage selbst auch auch ihre Verneinung als wahr ansehen. Entsprechend kann ich sie genausogut auch als falsch ansehen.
In der Konstruktion des Unvollständigkeitssatz wird so vorgegangen, daß der Satz „Diese Aussage ist nicht beweisbar“ zu den beweisbaren Aussagen gehört. Wenn dieser Satz demnach offensichtlich richtig ist, so ist er genauso offensichtlich falsch. Denn das ist ja seine Aussage.
zu 3: Damit es ein bestimmtes Objekt in der Mathematik gibt, muß man kein Beispiel dafür angeben. Es gibt durchaus auch Existenzbeweise, die nicht konstruktiv sind.
Für die Kontinuumshypothese ist bewiesen, daß sich mit der üblichen Mengenlehre (der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) weder beweisen noch widerlegen lässt. Wenn ich ein Beispiel für eine Menge mit der Mächtigkeit zwischen abzählbar und überabzählbar angeben könnte, hätte ich die Kontinuumshypothese damit widerlegt. Also ist klar, daß es ein solches Beispiel nicht geben kann. Wenn die Existenz eines Beispiels zwingende Voraussetzung für die Existenz einer solchen Menge wäre, dann wäre durch die Tatsache, daß es ein solches Beispiel nicht gibt, die Kontinuumshypothese bewiesen. Das wird aber offensichtlich in der Mathematik nicht so gesehen. Die Existenz eines Beispiels ist also nicht erforderlich, um die Existenz einer solchen Menge anzunehmen.
Ich kann also frei definieren, ob die Kontinuumshypothese gilt oder nicht. Wenn ich definiere, daß sie nicht gilt, dann gibt es eine Menge, deren Mächtigkeit zwischen Aleph-0 und Aleph-1 liegt. Es gibt dann eine solche Menge, aber ich kann sie nicht angeben.
zu 4: Das ist richtig. Ich kann zur Konstruktion unterschiedlich mächtiger Mengen auch mit Potenzmengen arbeiten. Das macht das von mir in #28 geschilderte noch viel unglaublicher:
Bereits die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen ist anschaulich überhaupt nicht mehr zu greifen. Nur abzählbar viele Zahlen lassen sich überhaupt konkret definieren, und doch liegen überabzählbar viele Zahlen auf dem Zahlenstrahl. Und dann können wir aus der üb erabzählbaren Menge der reellen Zahlen auch noch weitere Stufen der Überabzählbarkeit konstruieren, indem wir die Potenzmenge der reellen Zahlen (und anschließend deren Potenzmenge, usw.) betrachten. Das sprengt jegliches Vorstellungsvermögen – doch letztlich macht das den Zauber der Mathematik aus 🙂
Reelle Zahlen sind keine wirklichen mathematischen Objekte, ihre Eigenschaften ändern sich von Axiomsystem zu Axiomsysten, natürliche Zahlen haben immer die gleichen Eigenschaften. Reelle Zahlen haben eine zu große Mächtigkeit und machen positistische gesehen keinen Sinn. Daher gibt es auch Mathematiker die sich sinnlose Objekte wie die Menge aller Atlanten (aus der Differentialgeometrie) ausgedacht haben, was nur ein menschengemachtes Objekt ist und nicht wirklich „existiert“.
@jonnymahonny:
Ich vermute mal, dass die Mathematiker dieser Welt dich da einfach ignorieren. Was soll das auch sein, ein „wirkliches mathematisches Objekt“? In der Mathematik ist letztlich alles wirklich, was definiert werden kann, und das ist für die reellen Zahlen der Fall. Aber selbst in der Realität wirst du feststellen, dass das Verhältnis zwischen dem Umfang und dem Durchmesser eines Kreises irgendwie immer dasselbe ist, und dabei handelt es sich nicht um eine natürliche Zahl, obwohl die Zahl doch eigentlich sehr natürlich daher kommt. Wenn man aber diese Zahl, π genannt, auszurechnen versucht, kommt man nicht umhin anzuerkennen, dass sie eben doch reell, aber nicht rational ist. Oder gar natürlich.
…. ääh?
@jonnymahonny:
ääh?
Kannst du keine reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen konstruieren? So was lernt man doch in der Schule,oder? 😉
The subjective rise and objective fall of the city of jonnymahonny.
Scheint zumindest so. Doch wahrscheinlich besteht zwischen jm und dem größten Teil des Restes der Welt eine semantische Lücke, durch die man lässig die Milchstraße werfen kann. Ebenso wahrscheinlich ist der einzig angemessene Mediator gerade mitten in einer Geschäftsreise nach Capella 7.
Tja. Am besten man verbietet sich solche mathematischen Operationen wie Division oder Wurzel ziehen. Sonst landet man unweigerlich bei den bösen reellen Zahlen. Allerdings hat man dann auch keine Chance sich mit alltäglich anwendbaren Gebieten der Mathematik zu beschäftigen wie simpler Prozentrechnung, Zinses-Zins-Rechnung, Flächenberechnungen etc.
Ich glaube ja, johnny hat den berühmten Satz von Leopold Kronecker mal irgendwo gelesen:
„Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.“
Lustigerweise drehen sich viele Arbeiten von Kronecker um reele Zahlen, wie das Kroneckersche Lemma zB. … 🙂
Aber was will man erwarten?
Heutzutage scheint es ja geradezu Pflicht für jeden daher gelaufenen Deppen zu sein gerade die Dinge zu kritisieren mit denen man sich so gar nicht beschäftigt hat …
*Positivistisch meinte ich. Ansonsten bringt bitte noch mehr messerscharfe Argumente. Die reellen Zahlen sind nicht invariant unter wechsel des Axiomsystems, sad but true.
Ok. Erkläre mir bitte jemand, was die Menge aller Atlanten sein soll. Der Vorhang ist offen, bittesehr.
(aber jetzt kommt erstmal, sobald man positvismus erwähnt: EEEHhhh, Positivismus kann selbst nicht verifiziert werden *heul* *heul*. Muss er auch gar nicht, wenn man das Konzept vom Positivismus als Axiom annimmt.
(das nur so, falls das kindergartenargument wieder kommt, oder andere ähnlich clevere argumente)
@jonnymahonny:
Verstehe ich nicht.
Kannst du das bitte näher erklären?
Was für ein Axiomensystem? Und was bedeutet „invariant“ in Bezug auf Zahlen?
Ist dann die Wurzel aus 2 etwas Anderes, wenn man das Axiomensystem wechselt?
Mal abgesehen davon:
Du könntest dir wenigstens die Mühe machen, den Begriff der „differenzierbaren Mannigfaltigkeiten“ in der Wikipedia nach zu schlagen. Dann stößt du auch auf den Begriff der Atlanten und lernst dann schnell, was „die Menge aller Atlanten“ bedeutet.
Sonst scheint mir nach wie vor, dass du zu faul bist, dich mit dem Gebiet zu beschäftigen, dass du kritisierst.
Es gibt also zwei Möglichkeiten:
Entweder du beschäftigst dich mit dem was du kritisieren möchtest oder zweitens:
Dann eben nicht. Dann wäre schweigen besser als großspurig zu „kritisieren“.
@jonnymahonny
Formal lassen sich die reellen Zahlen beispielsweise über Cauchy-Folgen oder dedekindsche Schnitte definieren. Wenn du mehr darüber wissen willst, kann ich gerne näher darauf eingehen.
Ok, versuche eine Alternative zu Gödels Sätzen darzustellen, obwohl ich das Buch zu Gödel-Escher-Bach nur in Auszügen gelesen habe:
Der Trick ist, einfach eine andere Logik zu verwenden.
Die Herausforderung: Die neue Logik soll noch eine einigermaßen brauchbare Mathematik zulassen.
Mit meiner „Stufenlogik“ ist mir das überraschend einfach gelungen.
Ich füge dabei der Aussagenlogik noch eine neue Dimension, die Stufen 0,1,2,3,… hinzu (multiplikative Eigenschaften werdeb´n nicht benötigt).
Aussagen haben in allen Stufen eigenständige Wahrheitswerte (können aber hierarchisch definiert werden). Dadurch können fast alle klassischen Widersprüche über die Stufen aufgelöst werden,
auch die Cantorschen und Gödelschen Widerspruchsbeweise.
In der Informatik erhält man Stufenalgorithmen, die nicht mehr dem Halteproblem unterliegen.
Mit einer sehr einfachen Stufenmengenlehre lassen sich auch natürliche Zahlen definieren inkl. Arithmetik.
Lediglich die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegungen ist stufenübergreifend nicht mehr gesichert, andererseits
könnte man so sogar experimentell mittels mehrfacher Zerlegung sehr großer Zahlen die Realität von Stufeneffekten nachweisen, denn die realen Stufen unserer Welt wachsen wohl mit den physikalischen Wechselwirkungen.
Zu mehr Details nach „Stufenlogik Trestone“ im Netz suchen.
Übrigens, mit Stufenlogik und Stufenmengenlehre führt das Cantorsche Diagonalverfahren für die reellen Zahlen nicht mehr auf einen Widerspruch. Daher kommt man mit abzählbar unendlichen Mengen aus, benötigt also keine Überabzählbarkeit mehr.
Und sogar die Wurzel aus 2 ist nicht mehr irrational,
allerdings mit unterschiedlichen Bruch-Darstellungen in unterschiedlichen Stufen schon noch etwas seltsam.
Eine kleine Erweiterung der Logik hat also ziemliche Folgen, die meisten aus meiner Sicht erfreulich.
Ob dazu aber viele bereit sein werden bleibt fraglich, denn die Innovationsbereitschaft hat wohl meist Grenzen …