Vor einiger Zeit habe ich einen Artikel über Dimensionen geschrieben. Darin habe ich erklärt, was man aus mathematischer bzw. physikalischer Sicht unter diesem Begriff versteht, warum das ganze nichts mit Esoterik zu tun hat und wie das mit dem 11-dimensionalen Raum der Stringtheorie ist.
Über Dimensionen gibt es aber natürlich noch viel mehr zu sagen. Da gibt es zum Beispiel fraktale Dimension. „fraktal“ kommt von „Fraktur“; von „Bruch“.
Fraktale Dimensionen sind „gebrochene Dimensionen“ – wobei das „gebrochen“ hier mathematisch zu verstehen ist. Die Zahl der Dimensionen, die ein Objekt haben kann, ist hier nicht mehr auf ganze Zahlen wie 1, 2 oder 3 beschränkt. Eine fraktale Dimension kann beliebige Werte annehmen; es kann zum Beispiel Objekte geben, die eine Dimension von 1,5849… haben.
Aber was soll man sich unter nicht ganzzahligen Dimensionen vorstellen?
Die normalen Dimensionen habe ich ja damals als „Anzahl der Freiheitsgrade der Bewegung“ beschrieben. Im dreidimensionalen Raum kann ich mich vorwärts/rückwärts, links/rechts und oben/unten bewegen – also 3 Richtungen. Bin ich in meiner Bewegung auf eine zweidimensionale Oberfläche beschränkt, dann kann ich nur in 2 Richtungen gehen (das „oben/unten“ fällt hier weg).
Wie soll man sich aber jetzt ein Objekt vorstellen, dass z.B. eineinhalb Dimensionen hat?
Überdeckungen
Dazu ist es sinnvoll, sich ein spezielles Konzept für die Definition der Dimensionen anzusehen.
Stellen wir uns eine Linie vor. Diese Linie soll einem Meter lang sein und wir wollen sie überdecken. Das bedeutet, wir nehmen lauter QuadrateS mit gleicher Seitenlänge (es könnten auch Kreise oder sonstige Formen sein, das Prinzip bleibt das gleiche) und zählen, wie viele Quadrate wir brauchen, um die Linie abzudecken. Nehmen wir an, unsere Quadrate hätten eine Seitenlänge von 10 cm, dann brauchen wir 10 Quadrate, um die Strecke von einem Meter abzudecken:
Jetzt verkleinern wir die Seitenlänge der kleinen Quadrate um die Hälfte auf 5 cm – nun brauchen wir doppelt so viele Quadrate – nämlich 20.
Verkleinern wir sie ein auf ein Drittel der ursprünglichen Länge – 3,333… cm – braucht man dreimal so viele Quadrate – usw. Man sagt, die Anzahl wächst linear mit der Verkleinerung der Seitenlänge: Die Anzahl N der Quadrate ist also indirekt proportional der Länge L: N ~ 1/L
Mathematisch sagt man, dass die Zahl der Quadrate der ersten Potenz der Länge L proportional ist, also N ~ 1/L1 („erste Potenz“ heisst ja nichts anders als L1 und das ist wieder gleich L).
So weit zur Strecke. Nun spielen wir das gleiche Spiel nochmal mit einem Quadrat. Unser Quadrat soll eine Seitenlänge von einem Meter haben und wir wollen es mit kleinen Quadraten der Seitenlänge 10 cm abdecken. Jetzt brauchen wir dafür schon 100 Stück!
Halbieren wir nun die Seitenlänge der kleinen Quadrate auf 5 cm – verdoppelt sich dann die Anzahl der kleinen Quadrate, die wir zur Überdeckung benötigen? Nein, mit 200 Quadraten kommt man hier nicht aus – wir brauchen 400 Stück!
Und kürzen wir die Seitenlänge auf ein drittel, dann brauchen wir nicht 300 sondern gleich 900 Stück! Die Anzahl der zur Überdeckung nötigen Quadrate sinkt also nicht mehr linear bzw. mit der Potenz 1, sondern quadratisch, mit der Potenz 2: N ~ 1/L2.
Würde man das gleiche nochmal mit einem Würfel statt einem Quadrat machen und zählen, wieviele kleine Würfel man braucht, um den großen auszufüllen, dann würde man sehen, dass analog zu den obigen Fällen, die Anzahl nicht linear oder quadratisch sinkt – sondern mit der dritten Potenz: N ~ 1/L3.
Dieses Schema kann man verallgemeinern und definieren, das ein Objekt die Dimension D hat, wenn die Anzahl der Formen, die für eine Überdeckung nötig sind, indirekt proportional zur D-ten Potenz der Größe der Formen N ~ 1/LD (das ist mathematisch ein bisschen unsauber formuliert, genauere Formeln gibt es z.B. bei der Wikipedia).
Diese Definition stimmt mit den uns bekannten Werten überein: eine Linie ist eindimensional – und D ist hier auch gleich 1. Für ein Quadrat bzw. generell eine Fläche erhält man D=2 und diese Objekte sind zweidimensional. Räumliche Objekte sind mit D=3 dreidimensional.
Aber diese Definition ist nun nicht mehr auf die ganzen Zahlen beschränkt. D kann theoretisch irgendwelche Werte annehmen. Aber gibt es überhaupt Objekte, für die D keine ganze Zahl ist?
Fraktale
Ja, die gibt es. Man nennt sie „Fraktale“ und ein Beispiel dafür ist das Sierpinski-Dreieck. Man kann es sich folgendermaßen vorstellen:
Man starte mit einem normalen, gleichseitigen Dreieck. Dann bestimme ich von jeder Seite den Mittelpunkt und verbinde diese Punkte: das Dreieck wird nun in 4 gleich große Dreicke aufgeteilt. Das mittlere Dreieck wird entfernt und der gleiche Prozess auf die restlichen Dreiecke angewandt – und immer weiter, unendlich oft. Graphisch sieht das so aus:
Natürlich kann man das endgültige Dreieck nicht zeichnen – man müsste ja erstmal unendlich viele Konstruktionsschritte durchlaufen. Jetzt könnte man denken, dass in diesem Fall irgendwann mal alle Teile des ursprünglichen Dreiecks verschwunden sind und nichts mehr übrig bleibt. Das ist aber nicht der Fall!
Die Frage ist nur: was bleibt übrig? Am Anfang hatten wir eine zweidimensionale Fläche. Wird durch den Konstruktionsprozess so viel weg genommen, dass nur noch einzelne, unzusammenhängende Punkte übrig bleiben? Dann hätte das Sierpinski-Dreieck die Dimension Null. Oder bleibt vielleicht nur die äußere Begrenzungslinie des ursprünglichen Dreickes übrig? Dann hätten wir eine eindimensionale Linie und das Sierpinski-Dreieck die Dimension 1.
Man kann mathematisch berechnen, welche Dimension das Dreieck nach unendlich vielen Schritten hat. D ist in diesem Fall gleich 1,58496… (genauer: D = log 3 / log 2). Das bedeutet, das Sierpinski-Dreieck ist weniger als eine vollständige Fläche mit Dimension 2 – aber auch mehr als eine Linie mit Dimension 1!
Ein ebenso gutes Beispiel dafür ist die Koch-Kurve (oder „Schneeflockenkurve“). Hier startet man mit einer simplen Linie der Dimension 1. Dann macht man aus dem Mittelteil der Linie eine Art offenes Dreieck. Nun hat man 4 Liniensegmente und macht bei allen nochmal das gleiche – usw:
Nach unendlich vielen Schritten kommt man so schließlich zu einem Objekt, dass keine simple Linie mehr ist. Veranschaulicht ausgedrückt, hat sich die Linie so sehr verschachtelt und in den Raum gewunden, dass sie nicht mehr nur eindimensionale Linie ist, sondern auch ein wenig die Qualität einer Fläche angenommen hat – aber eben nicht ganz. Die Dimension der Koch-Kurve liegt daher auch zwischen 1 und 2 bei etwa 1,26 (genau: log 4 / log 3).
Solche Fraktale haben oft verblüffende Eigenschaften. Berechnet man die Länge der „fertigen“ Koch-Kurve, so sieht man schnell, dass sie unendlich lang sein muss. Sie wird ja bei jedem Konstruktionsschritt ein klein wenig länger. Berechnet man aber die Fläche, die unter dieser unendlich langen Koch-Kurve liegt, dann ist diese nicht ebenfalls unendlich! Sie beträgt exakt 9/5 (vorausgesetzt die Fläche unter dem ersten Dreieck beträgt genau 1).
Natürliche Fraktale
Ok, das Mathematiker manchmal auf seltsame Ideen kommen, ist ja nichts neues 😉 Da sind auch solche komischen Gebilde wie die Fraktale nichts außergewöhnliches. Aber in der Natur, in der echten Welt gibt es sowas doch wohl nicht?
Doch, auch in der Natur trifft man auch fraktale Objekte. Natürlich keine „echten“ mathematischen Fraktale mit „echten“ fraktalen Dimensionen. In der Natur hat alles drei Raumdimensionen (oder 11, falls die Stringtheorie richtig ist). Aber näherungsweise kann man das Konzept der Fraktale auch auf die Natur übertragen und findet dabei jede Menge interessante Objekte.
Das klassische Beispiel ist die Frage, wie lang die Küstenlinie der britischen Insel ist. Das ist erstmal leicht zu beantworten: Ich nehme mir einen Atlas und ein Lineal und messe einfach nach. Wenn ich mir dann allerdings eine genauere Karte ansehe, mit mehr Details und nochmal messe, dann werde ich einen anderen, größeren Wert für die Gesamtlänge bekommen. Und eine noch genauere Karte wird einen noch größeren Wert liefern.
Je genauer ich messe, desto länger wird die Küste von England werden! Das ist das selbe Prinzip wie bei der Koch-Kurve: eine eigentlich unendlich lange Linie begrenzt trotzdem eine endliche Fläche.
Ein weiteres wichtiges Konzept ist die Selbstähnlichkeit. Fraktale sind oft selbstähnlich; das heisst, ein Teil von ihnen sieht aus wie das Ganze. Das sieht man gut am Sierpinski-Dreieck:
Auch diese Selbstähnlichkeit findet man häufig in der Natur. Zum Beispiel bei Blumenkohl oder Romanesco:
Über Fraktale und fraktale Dimensionen könnte man noch dutzende Artikel schreiben – und vielleicht tue ich das auch noch, wenn Interesse besteht. Ich werde aber auf jeden Fall nochmal über meine eigene Arbeit zu diesem Thema bloggen.
In meiner Diplomarbeit habe ich nämlich herausgefunden, dass sich fraktale Dimensionen dazu eignen, chaotische Systeme zu charaktersieren bzw. herauszufinden, ob ein System chaotisch ist oder nicht…
Vielen Dank für den hochinteressanten Artikel. In der Programmierung stellen Fraktale eine guten Möglichkeit wunderschöne Algorithmen zu entwickeln. Vor allem finde ich die Symmetrie in Fraktalen schön. Das Sierpinski-Dreieck hat eine wunderschöne Punktsymmetrie. Klasse.
„Verkleinern wir sie ein drittes Mal, auf 2,5 cm, braucht man dreimal so viele Quadrate – …“
Viermal, oder? 🙂
Romanesco forever! War mir lange unbekannt und sah ich vor kurzem zum ersten Mal live im Supermarkt meines Vertrauens. Vor Begeisterung konnte ich mich lange nicht vom Gemüseregal lösen, tat selbige Begeisterung gleich meiner Frau kund, verklärt von Fraktalen schwafelnd und erntete amüsiert-besorgte Blicke vom Rest der Samstags einkaufenden Welt. Aber das wars wert!
Toller Artikel! Gutes Thema (lockt wahrscheinlich keine Cranks an)!
(Ein Fraktal wär auch das einzig für mich in Frage kommende Tattoo, nur würds halt endlos dauern, wehtun und kosten 😉
Danke für den Artikel, das fasziniert mich jetzt wirklich total.
Ein, zwei Fragen:
Wenn ich also eine beliebige Fläche unendlich durch zwei (oder n) teile wird daraus irgendwann ein Zwischending von Fläche und Linie (oder Punkt)?
Die Koch-Linie schliesst sich ja auch bei unendlich vielen Schritten nicht. Wie darf man sich vorstellen, dass das mehr als eine Linie ist. Einfach, weil diese Linie unendlich lang ist? Oder ist vorstellen nicht möglich, nur berechnen?
Würde man eine andere erweiterung der linie machen, würde sich der Wert 9/5 verändern?
Würde mich freuen, mehr von dem zu lesen
Thomas
Ist das Ausdünnen des Sierpinski-Dreiecks ein Grenzwertprozess bzgl. der
Dimensionalität, d.h. wir starten mit zwei Dimensionen und
nähern uns asymptotisch 1.584… Dimensionen an? Dann müssten wir doch schon
nach der ersten Iteration den vollständig 2-dimensionalen Raum bereits ein Stück
verlassen haben, oder? Andererseits ist das Gebilde nach endlich vielen
Schritten eine löchrige aber immernoch zweidimensionale Fläche.
Aber Klasse Artikel, danke. Durch die Definition mit der Potenz der Überdeckung
wird das klarer.
@Marek: Danke, das hab ich korrigiert
@Thomas: Naja – „beliebig“ geht nicht, würd ich sagen (aber vielleicht weiß da ein Mathematiker mehr). Ich würde sagen, dass die Koch-Kurve deswegen „mehr als eine Linie“ ist, weil sie eben unendlich lang und unendlich verschachtelt ist. Stell dir vor, du nimmst einen langen Bindfanden und legst ihn, Schleife neben Schleife, auf den Boden. Dann bedeckst du damit die ganze Fläche – obwohl es nur ein eindimensionales Objekt ist. So ähnlich ist das bei der Koch-Kurve. Oder schau dir die Peano-Kurve an, vielleicht versteht man es damit besser.
Und klar, der Wert 9/5 gilt nur speziel für die Koch-Kurve.
@schlappohr: Im Prinzip hast du Recht. Die genau Defintion der fraktalen Dimension geht aber über einen Grenzwert, d.h., da ist ein lim -> oo in der Formel drin. Also macht es so keinen Sinn, über Dimensionen nach endlich vielen Iterationen zu sprechen. Dazu kommt aber im nächsten Artikel mehr – denn ich hab genau das in meiner Diplomarbeit gemacht 😉
Danke für die Antwort
Also aus der Kochlinie resultiert eine unendliche lange Linie auf eine endliche Fläche gelegt? Weil die Linie aber keine Fläche ist, die Linien aber dicht aneinander liegen kommt so ein Zwischendimensionsding heraus?
Ist das ein ähnlicher Gedanke?:
Wenn ich zwischen 0 und 1 unendliche viele Punkte aufzeichne bekomm ich ja trotzdem keine Linie (weil die irrationalen Zahlen nicht aufgezeichnet werden können, trotz Unendlichkeit)? Somit gäbe das eine „Linie“ mit Dimension <1?
mit Dimension kleiner als 1 sollte da noch stehen
@Thomas: „Wenn ich zwischen 0 und 1 unendliche viele Punkte aufzeichne bekomm ich ja trotzdem keine Linie“
Dazu passt der Cantor-Staub. Da nimmst du von ner Linie zwischen 0 und 1 unendlich viele Punkte weg – es bleibt aber trotzdem noch was übrig, was mehr als ne Punktmenge ist und der Cantor-Staub hat ne Dimension von 0,6309…
Vielen Dank!
ich kann mich noch an zeiten erinnern wo mein alter rechner noch tage lang an einem simplen apfelmänchen gerechnet hat… und das mit einer monochrom grafik *tztzt war eine herkules grafikkarte drin… so gross wie meine heutige gesamte hauptplatine… und wir sassen da und warteten gespannt *gg und mit meinem heutigen rechner geht das in einer sekunde was damals eine ganze woche dauerbetrieb gedauert hat 😉
wie auch immer… meine lieblingsfraktale sind immer noch trees, ferns die zu den ifs gehören aber auch die die auf der lyapunov menge entstandene
Heißt das dann, dass die Küste Englands unendlich lang ist?
Ich meine, man kann die Karte immer genauer machen, aber aufgrund der Heißenberg´schen Unschärferelation würde es irgendwann nicht mehr genauer gehen…
Und beim Messen gibt es eben diese Grenze oder nicht?
„Je genauer ich messe, desto länger wird die Küste von England werden! Das ist das selbe Prinzip wie bei der Koch-Kurve: eine eigentlich unendlich lange Linie begrenzt trotzdem eine endliche Fläche.“
@Adrian: Ja klar, irgendwann ist dann Schluß mit messen. Da muss man gar nicht erst auf die Quanteneben gehen – es wird schon schwierig genug, wenn du bei einzelen Sandkörnern oder Wassertropfen ankommst. Das Meer steht ja nicht still 😉 Es ging ja nur ums Prinzip.
Du kannst richtig gut erklären! (Wenn das meine Mathe-Lehrer mal so gekonnt hätten, wäre ich vielleicht auch über ein – mit ach & krach – ausreichend hinaus gekommen und heute eine internationale Koryphäe des Fachs 😉
Schöner Artikel! Kommt nächste Woche die Hausdorff-Dimension?
@Odysseus: Hmm – also ich glaube, ich werd die einzelnen Dimensionsdefinitionen nicht extra behandeln. Da gibts ja so viele davon. Naja, wenn mans genau nimmt, gibts sogar unendlich viele – für jede natürliche Zahl gibts eine entsprechende (Hausdorff)Dimension. Ich glaub, die Formel für diese verallgemeinerten Dimensionsdefinitionen stammt von Grassberger&Procaccia – muss ich mal nachschauen. Das ganze ist aber doch sehr mathematisch und verwirrend 😉
War auch nicht ganz ernst gemeint, die Definition nach Hausdorff ist schließlich arg trocken und unanschaulich. Ich meinte nur gelesen zu haben, dass die Hausdorffdimension meistens als die ‚eigentliche‘ fraktale Dimension betrachtet wird — sie ist nur leider oft schwer zu bestimmen. Die Box-Counting-Dimension, die du so schön erklärt hast, verwendet man hingegen am ehesten für numerische Rechnungen, weil die Idee sich ja gut in einen Algorithmus übersetzen lässt.
@Odysseus: Also was da an verschiedenen Defintionen gibt, ist grauenhaft! Ich kann mich noch gut erinnern, wie ich für meine Diplomarbeit da 3 Wochen gesessen bin, bis ich eine einheitliche Notation raus hatte… Je nach Buch, heissen die gleichen Dinger da komplett anders!
Bevor es vergessen wird (meinerseits): Interesse besteht durchaus an einer Ausweitung dieses Artikels zu einer Serie 🙂
/Fraktale in der Natur/ So ähnlich manches aussehen mag, so verblüffend einfach gewisse Strukturen durch selbstähnliche Abbildung (sehr schnell) annähernd repliziert werden können (e.g. Bäume in game engines), es bleibt eine Näherung, da speziell die unendlich rekursiv absteigende Strukturgleichheit spätestens an den üblichen Planckschen Grenzen harsch gestoppt wird.
@Hattori Hansen: /no cranks/ bleibt zu hoffen, in diesem ridiculous global scaling wird ‚fraktal‘ auch benutzt – natürlich nicht ganz in der eigentlichen Bedeutung.
„Berechnet man aber die Fläche, die unter dieser unendlich langen Koch-Kurve liegt, dann ist diese nicht ebenfalls unendlich! Sie beträgt exakt 9/5 (vorausgesetzt die ursprünglich Strecke war genau eine Einheit lang).“
Wie soll das denn gehen wenn die Fläche unter der Kruve dann ja wohl offensichtlich einen kleineren Flächeninhalt hätte als ein 1×1 Quadrat ;D ?
Du meinst wohl eher der Flächeninhalt des ersten Dreiecks müsse 1 betragen.
@Sim: Ja, stimmt… danke für den Hinweis
@Florian Freistätter
Irgendwann und irgendwo hier in den Blogs haben wir uns mal über die Schönheit in Kunst und Wissenschaft unterhalten. Ihre Fraktale sind ein besonders gutes Beispiel für Schönheit in der Wissenschaft (Mathematik). Danke dafür.
Es gab mal (Ende der 80-er Jahre) ein zweibändiges Werk von John Argyris, Ioannis St. Doltsinis et al. von der Uni Stuttgart zur Stabilität von chaotischen Systemen (Lorentz attraktor, strange attractor, Fratktale). Ich meine, das war damals schon das Thema.
Hi, nur 2 kurze Anmerkungen:
1. Nimmt die String-Theorie nun 10 oder 11 Dimensionen an (widersprüchliche Angaben in diesem und deinem Dimensionen-Beitrag)?
2. Inhaltlich zugegebenermassen bedeutungslos, aber angenehmer zu lesen wäre der Beitrag ohne die Rechtschreibfehler, z.B. in „Überdeckungen“, 2. Absatz: ‚Quadraten‘ oder unter der Abbildung „20 Quadrate“, 3. Absatz: ‚Seitenläneg‘ u.a.
Ansonsten danke für die schöne Aufbereitung des Themas!
F.
@FS: Die „normal“ Superstringtheorie hat 10 Dimensionen; die neue „M-Theorie“, die die verschiedenen Stringtheorien vereinen soll, hat 11 Dimensionen (davon 10 Raumdimensionen; das waren die, die ich im anderen Artikel angesprochen habe).
Ich war grad auf der Suche nach Informationen zu Fraktalen und hab dabei deinen Blog gefunden. Sehr interessant! 😀
Ich hab auch einen Beitrag über Fraktale in Zusammenhang mit Software geschrieben:
https://david-strohmayer.net/?p=439
Vielleicht interessiert das in dem Zusammenhang ja auch.
Grüße,
David
Ein gut und schön nachvollziehbar geschriebener Artikel!
Auch in der Biologie und Medizin sind die fraktalen Dimensionen bedeutungsvoll. Aus Hartmut Heine, Lehrbuch der biologischen Medizin (2007):
Heine plädiert aufgrund dieser Erkenntnis für ein grundsätzliches neues Denken in der Medizin, das sich vom linearen Ursache-Wirkungs-Prinzip löst:
edit: Heine meint lehnt das Denken im Ursache-Wirkungs-Prinzip nicht kategorisch ab, jedoch betont er, dass darüber hinaus gegangen werden muss, um zu einem Verständnis der Natur zu gelangen.
mmmmh, dieser H.Heine ist beim =»Hippokrates Verlag auch gut aufgehoben, unter solch hochgeistigen Kräften ist so etwas Banales wie mangelndes Verständnis von Mathematik gar nicht so wichtig, das wird schon mit irgendeinem extraweichen Chakra abgefedert.
@rolak
mangelndes Verständnis von Mathematik
weshalb unterstellen Sie dies dem Autor?
Aber bitte, Yves, das unterstelle ich doch nicht [wenn ich unterstelle, formuliere ich das auch], das konstatiert er höchstselbst in den fassbaren Elementen seiner von Dir hier zitierten und =»dort einsehbaren Wortzusammenwürfelung:
→Teil 1: Es gilt <Fraktale Dimension> ≥ <Topologische Dimension> und solange ich nicht ans Bett gefesselt bin, habe ich noch alle drei Freiheitsgrade wie üblich. Soeben noch mal schnell ausprobiert — tja, und da 2.2wasauchimmer weder gleich noch größer 3 ist…
→Teil 2: Euklidische Geometrie hat nichts mit Kausalanalytik (?) zu tun, zieht nicht unbedingt Dreidimensionalität oder Rechtwinkligkeit nach sich.
Was soll denn das sein, ein biologisches Objekt, dass weniger als 3 Dimensionen hat?
@Thomas J: Man darf nicht vergessen, dass die fraktale Dimension nur ein Werkzeug zur Beschreibung der Realität ist, aber nicht die Realität selbst! Natürlich ist z.B. die Lunge dreidmensional. Aber man kann ihre Oberfläche durchaus mit fraktalen Dimensionen untersuchen und bekommt dann natürlich Werte zwischen 2 und 3 die für Zoologen durchaus interessant sein können (wenn man verschiedene Werte verschiedener Spezies vergleicht).
@Florian
Danke für die Aufklärung.
Aber eben, es bleibt beim Beschreiben. Wenn man wirklich genau schaut, bleibt in unserer 3d Welt auch jeder Körper dreidimensional und jeder Querschnitt zweidimensional, oder? (Stringtheorie mal ausgeklammert lassen)
Die von Yves kopierten Aussagen in diesem Zusammenhang klingen schon sehr… öhm… abenteuerlich?
Also daß die Oberfläche von einem biologischen Objekt eine fraktale Dimension von 2.2 haben kann mag ja sein, aber das steht da oben nicht.
@rolak
zwischen 2.2 und 2… oder wo steh ich aufm Schlauch?
Zahlenspielerei hin oder her, wenn ich Evolution richtig verstanden habe und 2.22 oder was auch immer ein Optimalwert ist, dann hätten wir uns hier auf Erden statistisch um diesen Punkt herum verteilt und nicht, wie im Zitat gesagt, ausschließlich unterhalb. Und das Oberfläche-Objekt-Dilemma ist da noch gar nicht beachtet.
Aber, wie schon gemutmaßt, so etwas mag im Rahmen einer ‚ganzheitsbiologischen Medizin‘ völlig irrelevant sein.
ich vermute einen Typo im Buch… das müsste wohl zwischen 2.2 und 3 heissen?
die fraktale Dimension bezieht sich auf eine funktionelle Grösse, die Stoffwechselintensität (in Abhängigkeit der Grösse eines Organismus).
Ich gebe hier den voranstehenden Kontext obigen Zitats wider, dann wird es wohl verständlicher:
Es gibt Meeresschnecken (oder ähnliche Schalentiere) die Sierpinski-Dreiecke oder andere Fraktale auf der Schale haben. Das sieht sehr auffälig und beeindruckend aus! Ich habe es vor ein paar Monaten auf irgendeinener englischen Nachrichtenseite gelesen bzw. auf Fotos gesehen, leider weiß ich nicht mehr wo das war. Hat vieleicht jemand anderes auch davon gehört?
das da? https://www.spiegel.de/fotostrecke/fotostrecke-46503-8.html
Ähm, es gibt, wie oben ausgeführt, keine fraktale Dimension für reale Objekte, da kein reales Objekt, sagen wir mal salopp, „über unendlich kleine Details verfügt“.
Insbesondere ist bei den für die obigen medizinisch-biologischen Ergüsse relevanten Sachverhalten bei Atomen und Elektronen Schluss. Nichts, was kleiner ist, spielt eine Rolle für biochemische Vorgänge.
Die Oberfläche einer Lunge hat die Dimension 2, die Küstenlänge Englands, egal, wie genau man sie ausmisst, hat die Dimension 1 und sie ist nicht unendlich lang – und eine Kochkurve nach endlich vielen Iterationen (dann ist sie allerdings keine) hat die Dimension 1, es gibt keine asymptotische Annäherung an 1.584…
@gewinnste: „Ähm, es gibt, wie oben ausgeführt, keine fraktale Dimension für reale Objekte“
Ja und? Hat jemand was anderes behauptet?
Ich find das Thema der Fraktale sehr spannend, doch eins vestehe ich nicht. Im Artikel wird berichtet das:
Die normalen Dimensionen habe ich ja damals als „Anzahl der Freiheitsgrade der Bewegung“ beschrieben. Im dreidimensionalen Raum kann ich mich vorwärts/rückwärts, links/rechts und oben/unten bewegen – also 3 Richtungen. Bin ich in meiner Bewegung auf eine zweidimensionale Oberfläche beschränkt, dann kann ich nur in 2 Richtungen gehen (das „oben/unten“ fällt hier weg).
Wie sieht eine allgemeine Beschreibung für die für ein gebrochene Dimension aus? Die Freiheitsgerade der Bewegung wären ja gebrochen, in welche Richtung wird sich dann „bewegt“? Oder habe ich etws mißverstanden? Bin noch ziemlich unerfahren in diesem Bereich
Eines vorweg; Ich bin nicht wissenschaftlich und bestehe nicht darauf etwas von dem was ich hier schreibe verstanden zu haben.
Warum tauchen in Natur/Kosmos überall fraktale Strukturen auf? Ich glaube nicht nur deswegen weil sie eine bewährte Art des Selbstorganisationsprinzipes ist. In chaotischen Systemen taucht fraktale Ordnung auf. Ich weiß jetzt nicht ob das grundsätzliche so ist.
Auch interessant zu diesem Thema finde ich diesen populärwissenschaftlichen Artikel:
https://www.spektrum.de/alias/quantengravitation/das-fraktale-quantenuniversum/977235
Nach dem Motto „Kausalität ist grundsätzlicher als Zeit oder ist etwas das wir als Zeit interpretieren“
Wenn das Uniwersum ein Fraktal an sich ist, wie Reginald Cahill behauptet weil es vielleicht die effektivste Art ist aus „wenig viel“ entstehen zu lassen dann könnten doch Bifurkation und Chaos für Brüche Abwechslung und Vielfalt im Fraktal sorgen. Damit halt alles differenziert und nicht so langweilig aussieht.
Ich frage wo die anderen 7 Dimensionen geblieben sind wenn sie aus dem Fraktal hervorgegangen sind. Waren 11 davon Voraussetzung für unsere wahrnehmbare Welt die uns nur in drei/vier(Zeit) Demensionen erscheint? Ist es eigentlich auch im Prinzip das „Selbe/Gleiche“ was andere Physiker unter dem Holografischen Prinzip“ verstehen?
Hallo!
Vorweg muss ich gestehen, dass ich mit Fraktalen nicht sehr vertraut bin. Trotzdem tauchen sie plötzlich in einer meiner Uni-Aufgaben auf und ich verzweifle langsam aber sicher daran. Vor mir liegt eine Karte, aus der ich einen kreisförmigen Ausschnitt wählen musste und anschließend die Verkehrsflächen extrahiert habe. Ich schaue also auf ein Netz aus Straßen und bebauter Fläche und soll nun die radiale fraktale Dimension interpretieren, die nach Berechnung bei 1,587… liegt.
Wie kann ich diese Zahl nun interpretieren? Sie hat doch nach meinem Verständnis nichts mit der Entropie zu tun, richtig? Was beschreibt sie denn? Mir erschließt sich das leider nicht ganz. Hoffentlich liest jemand meinen Hilferuf! 😉 Danke!
@David: Mir ist die Frage nicht ganz klar. Was du die Dimension einer Linie bestimmt oder war es eine Fläche? Im Prinzip sagt dir die Zahl, dass das Objekt, das es beschreibt, mehr als eine Linie aber weniger als eine Fläche ist. Ohne weitere Infos kann ich aber auch nicht mehr sagen…
@David / #45
Annähernd kommt eine ähnliche Zahl (1.58496…) beim Sierpinski Dreieck vor oder auch hier mal durchsehen, eine einführende Fraktalseite mit vielen Formeln und Graphiken.
Aber ob dies exakt zu Deiner Aufgabe passt weiss ich nicht, vielleicht eher hier mal nachfragen?
Hi! Danke für die schnellen Antworten!
Es handelt sich um Siedlungs- und Verkehrsflächen in einem Radius von 20km um ein Rathaus. Der genaue Wortlaut der Aufgabenstellung ist wie folgt: „Untersuchen Sie die Fraktalität des Siedlungsmusters der 20km-Region, indem sie auf Basis der von Ihnen erzeugten 40 Kreise die radiale fraktale Dimension für das Raummuster der Siedlugns- und Verkehrsflächen der 20km-Region berechnen sowie diskutieren und interpretieren“.
Ich habe also einen „Flickenteppich“ aus Siedlungs- und Verkehrsflächen vor weißen Zwischenräumen und soll nun diese Aufgabe bearbeiten. Leider verstehe ich nun nicht, was von mir verlangt wird bzw. was die Zahl 1,58… in diesem Zusammenhang aussagt.
Vielen Dank schonmal im Voraus!
@David: „radiale fraktale Dimension“
Abgesehen davon, dass ich nicht deine Übungen für dich machen kann, musst du erstmal sagen, wie bei euch „radiale fraktale Dimension“ definiert ist. Es gibt so viele verschiedene Arten, die fraktale Dimension zu definieren… Wie hast du denn die 1,58 berechnet? Irgendwas musst du ja gemacht haben, um zu dieser Zahl zu kommen?
Durch die Regressionsanalyse. Ich habe die natürlichen Logarithmen des Radius und der Siedlungs- und Verkehrsflächen berechnet. Anschließend habe ich ein Punktdiagramm erstellt, eine Trendlinie hinzufügt und letztendlich den Term f(x)=1,58664715… erhalten.
Ich scheitere gerade nur an der Interpretation. Mir fehlt einfach das Vermögen, mir vorzustellen, was diese Zahl jetzt mit meiner Karte zu tun hat.
@David: „Ich scheitere gerade nur an der Interpretation. Mir fehlt einfach das Vermögen, mir vorzustellen, was diese Zahl jetzt mit meiner Karte zu tun hat.
Hast du denn vorher schon irgendwann mal was über fraktale Dimensionen gelernt? Das ist ein durchaus umfassendes und nicht-triviales Gebiet, das sich auch schwer mal eben in nem Blogkommentar erklären lässt.
Ich habs ja schon vorhin gesagt: Die fraktale Dimension sagt dir, welche Dimension ein Objekt hat, ohne dabei auf ausschließlich auf „1“, „2“ oder „3“ angewiesen zu sein. Stell dir einen dünnen Faden vor. Der ist – in praktischer Hinsicht und für dieses Beispiel – ein eindimensionales Objekt. Jetzt wickel den Faden auf und knülle ihn zu einer festen Kügel zusammen. Die Kugel SIEHT dreidimensional aus – aber es ist keine „Kugel“ sondern immer noch ein 1D-Faden. Die fraktale Dimension hilft, solche Situationen zu lösen. Würdest du die fraktale Dimension des normalen, langgestreckten Fadens berechnen, würdest du eine Dimension von ~1 kriegen. Würdest du aber die fraktale Dimension des zerknüllten Fadens berechnen, würdest du wohl einen Wert von ~2,x kriegen. Weil der Faden sich so sehr und so extrem durch drei Dimensionen windet, dass die Form dann eben mehr ist als eine Linie, aber trotzdem immer noch weniger als ein solider 3D-Körper. Die fraktale Dimension berücksichtigt das und gibt dir daher einen Wert für die Form, der zwischen 2 und 3 liegt: Mehr als eine Linie; mehr als eine Fläche aber weniger als ein Körper.
Ich nehme an bei deinem Beispiel soll die fraktale Dimension als Maß für den vorhandenen Platz dienen. Steht die ganze Fläche für zB Siedlung zur Verfügung, dann hast du eine simple Fläche mit der Dimension zwei. Ist weniger Fläche für Siedlung da, kriegst du mit der fraktalen Dimension ein Objekt, das weniger flächenhaft ist als eine normale Fläche und darum eine Dimension kleiner als zwei hat.
Noch mehr kann ich jetzt aber auf die schnelle nicht erklären; da müsstest du dann wirklich in der Fachliteratur nachlesen (sollte es in jeder guten Mathebibliothek geben).
Ich muss gestehen, dass ich vorher noch nie etwas von Fraktalen gehört habe. Ich studiere auch kein Mathe oder Ähnliches (Um ehrlich zu sein habe ich sogar gehofft, nach dem Abitur nie wieder mit Mathe in Berührung zu kommen 😉 ) und bin in dieser Hinsicht gar nicht bewandert.
Deine Erklärung klingt jedoch logisch. Im Dschungel von Zahlen und Buchstaben verliert man als (untalentierter) Laie schnell mal den Überblick und weiß gar nicht, was man gerade überhaupt tun soll. Langsam, aber sicher liegt das Feld nicht mehr ganz so im Dunkeln, wie es noch vor einigen Tagen der Fall war. Nach diesem Semester ist es mit Fraktalen (hoffentlich) dann auch wieder vorbei.
Danke für die Zeit, die ihr euch für mich genommen habt! Ihr habt mir sehr geholfen!
EXPONENTIELL
2-4-8-16-32-64-128-
FIBONACCI
1-1-2-3-5-8-13-21-34
Periodensystem.
1Proton H
2 Prototon He
3P… Li
4p ….
Ein Proton dazu ein nein neuer Stoff Als Goldenen Schnitt (alternative Schreibweise: goldener Schnitt;[1]lateinisch: sectio aurea, proportio divina) bezeichnet man das Teilungsverhältnis einer Strecke oder anderen Größe, bei dem das Verhältnis des Ganzen zu seinem größeren Teil (auch Major genannt) dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil (demMinor) entspricht. Als Formel ausgedrückt (mit „a“ als Major und „b“ als Minor)
…eine Strecke
…Figur
Pythagoras: a2+ b2= C2
Wie 2’2(4)+ 3’2 ( 9) =(13)
…..Körper
…. …
……Fraktal – ein in sich höres Gebilde
…Ist Logarithmisch,befindet exponentiell
in sich zusammen sich selbst ähnlich..
Wachstum/ Exponentiell von Populationen Das Wachstum von Mikroorganismen wie beispielsweise Bakterien und Viren,Krebszellenund auch derWeltbevölkerung können ohne hemmende (Fress-)Feinde undGiftstoffe theoretisch exponentiell angenähert werden. Die Zeit der Verdopplung bezogen auf den Anfangsbestand wird hier alsGenerationszeit bezeichnet.
Radioaktiver Zerfall. Die Anzahl der Kernzerfälle in einer radioaktiven Materialmenge nimmt zeitlich annähernd exponentiell ab (siehe auch Zerfallsgesetz)…. „In gleich langen Zeitintervallen zerfällt stets ‚derselbe Bruchteil‘ der zu Beginn des Intervalls noch vorhandenen Menge“….
Lambert-beersches GesetzLegt ein monochromatischer (einfarbiger) Lichtstrahl mit einer bestimmten einfallenden Intensitätdurch ein absorbierendes,homogenes Medium (z.B. Farbstoff) einer bestimmten Schichtdicke darin einen Weg zurück, so lässt sich die Intensität des austretenden Strahls durch einen exponentiellen Zerfallsprozess darstellen. ..
Die Intensität des austretenden Strahls ist „proportional“ zur Intensität des einfallenden Strahls. Dies steht in engen Zusammenhang mit dem sogenannten Absorptionsgesetz für beispielsweise Röntgenstrahlung.
.Weit verbreitet sind fraktale Strukturen ohne strenge, aber mit statistischer Selbstähnlichkeit. Dazu zählen beispielsweise Bäume, Blutgefäße, Flusssysteme und Küstenlinien. Im Fall der Küstenlinie ergibt sich als Konsequenz die Unmöglichkeit einer exakten Bestimmung der Küstenlänge: Je genauer man die Feinheiten des Küstenverlaufes misst, umso größer ist die Länge, die man erhält. Im Falle eines mathematischen Fraktals, wie beispielsweise der Kochkurve, wäre sie unbegrenzt.
..In einem engen Zusammenhang zum Goldenen Schnitt steht die unendlicheZahlenfolge der Fibonacci-Zahlen…
Fraktale finden sich auch als Erklärungsmodelle für chemische Reaktionen. Systeme wie die Oszillatoren 😉 (StandardbeispielBelousov-Zhabotinsky-Reaktion) lassen sich einerseits als Prinzipbild verwenden, andererseits aber auch als Fraktale erklären. Ebenso findet man fraktale Strukturen auch imKristallwachstum und bei der Entstehung von Mischungen, z. B. wenn man einen Tropfen Farblösung in ein Glas Wasser gibt.Das Auffasern von Bast lässt sich über die fraktale Geometrie von Naturfaserfibrillen erklären. Insbesondere ist die Flachsfaser eine fraktale Faser…
…Typische Beispiele aus der Biologie sind die fraktalen Strukturen bei der grünen Blumenkohlzüchtung Romanesco und bei den Farnen. Auch der Blumenkohlhat einen fraktalen Aufbau, wobei man es diesem Kohl auf den ersten Blick häufig gar nicht ansieht. Es gibt aber immer wieder einige Blumenkohlköpfe, die dem Romanesco im fraktalen Aufbau sehr ähnlich sehen…
…Durch wiederholte Drehung um den Goldenen Winkel entstehen immer wieder neue Positionen, etwa für die Blattansätze . Wie bei jeder irrationalen Zahl werden dabei nie exakte Überdeckungen entstehen. Weil die Goldene Zahl im untenbeschriebenen Sinn die „irrationalste“ Zahl darstellt, wird dabei erreicht, dass die Überdeckung der Blätter, welche diePhotosynthese behindert, in der Summe minimiert wird…
…logarythmisch
Die Goldene Spirale ist ein Sonderfall der logarithmischen Spirale. Diese Spirale lässt sich mittels rekursiver Teilung eines Goldenen Rechtecks in je ein Quadrat und ein weiteres, kleineres Goldenes Rechteck konstruieren. Sie wird oft durch eine Folge von Viertelkreisen approximiert. Ihr Radius ändert sich bei jeder 90°-Drehung um den FAKTOR PHI-
In einem engen Zusammenhang zum Goldenen Schnitt steht die unendlicheZahlenfolge
der Fibonacci-Zahlen
…LOGARITHMISCH aufgebaut. ..
PI selbst ist Logarithmisch..
….sogar Pi ist Logarithmisch.
Trotz seiner asynchrone
Reihenfolge. .. im unendlicheKettenbruchentwicklung der Zahl PI
Es ist ein Bestandteil der Goemetrie, Körper …bis in sich (scheinbar chaotisch)
Fraktal gebrochene Formen…die alle Logarithmisch sind in…
Egal wie eine Variable beschaffen ist, sie baut sich auf einen Muster auf. Alle Topologischen Räume, entstehen aus ihrer Unvollständigkeit.
In sich Fraktal geschlossen.
Wie beim goldener schnitt offensichtlich in blumkohl, proprtionen, Seestern. …
Regelmäßiges Fünfeck undPentagramm bilden jeweils eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite eines regelmäßigen Fünfecks z. B. befindet sich im Goldenen Schnitt zu seinen Diagonalen. Die Diagonalen untereinander wiederum teilen sich ebenfalls im goldenen Verhältnis, d. h.AD verhält sich zu BD wie BD zu CD. Der Beweis dazu nutzt die „Ähnlichkeit““ geeignet gewählter Dreiecke.
Alles ist Logarithmisch aufgebaut. ..
Eine logarithmische Spirale ist eineSpirale, bei der sich mit jeder Umdrehung um ihren Mittelpunkt (Zentrum, Pol) der Abstand von diesem Mittelpunkt um den gleichen Faktor verändert…
Selbst Primzahlen in haben ein Logarithmus..
…
Harmonischen Oszillator,.. .
..Ist Fraktal…
Eine Harmonische ist in der klassischenPhysik und Technik eine harmonische Schwingung, deren Frequenz ein ganz zahliges Vielfaches einer Grundfrequenz ist. Eine Harmonische oberhalb der Grundfrequenz wird auch Oberschwingung, teilweise auch Oberwelle und in der Musik Obertongenannt.