Heute vor genau fünf Jahren ist der erste Text in meiner Kolumne Freistetters Formelwelt erschienen. Am 5. Juni 2016 habe ich über „Ein Symbol für Raum und Zeit“ geschrieben und über meine Erfahrungen berichtet, die ich während meines Studiums in der Vorlesung „Einführung in die Tensorrechnung“ berichtet. Seitdem ist jeden Sonntag ein weiterer Artikel erschienen; jeden Monat kann man die Kolumne auch in der gedruckten Ausgabe von „Spektrum der Wissenschaft“ finden. 260 Texte über mathematische Formeln habe ich bis jetzt geschrieben und das Material macht keine Anstalten, zur Neige zu gehen.
Im Zentrum jeder Kolumne steht eine konkrete mathematische Formel. Aber nicht immer erkläre ich die auch Zahl für Zahl, Symbol für Symbol. Mir geht es nicht so sehr darum zu erklären, wie man konkret irgendwas berechnet. Ich will die Vielfalt der Mathematik demonstrieren und ihre einzigartige Bedeutung für unser Leben. Entsprechend divers ist die Themenauswahl in meiner Kolumne. Da geht es durchaus oft um reine Mathematik. Aber eben auch um Fußball, Liebe, das alte Ägypten, natürlich die Astronomie, komische Posts in sozialen Medien, Mathe-Missbrauch, Essen, Blumen, Religion, Literatur oder Fake-News. Und natürlich noch viel, viel mehr.
Im Titel habe ich vom „Kampf gegen die Angst vor der Mathematik“ geschrieben, was ein wenig übertrieben klingen mag. Aber für viele Menschen, vor allem für Schülerinnen und Schüler, ist die Auseinandersetzung mit der Mathematik tatsächlich ein „Kampf“. Die Mathematik gilt in der Schule als „Angstfach“ und in der Gesellschaft als kompliziert, langweilig oder trocken. Und es ist definitiv nicht neu, dass man sich fragt, was dagegen unternommen werden kann. Meine Kolumne ist vermutlich nicht geeignet, den Menschen die unbegründete Angst vor der Mathematik zu nehmen. Dort wo sie erscheint, wird sie vor allem Menschen gelesen, die der Wissenschaft und auch der Mathematik prinzipiell positiv gegenüber stehen. Die anderen werden vermutlich gar nicht erst auf den Seiten eines Wissenschaftsmagazins in der Mathe-Rubrik stöbern.
Genau das ist wahrscheinlich auch das große Problem, wenn es darum geht, die Mathematik zu vermitteln. Wenn ich über Astronomie schreibe (oder in meinem Podcast davon erzähle), dann habe ich einen großen Vorteil. Vor den Sternen haben die Menschen meistens keine Angst. Im Gegenteil: Die Astronomie ist ein wunderbares Mittel, um Menschen auf die Wissenschaft aufmerksam zu machen, die noch gar nicht wissen, dass sie sich dafür interessieren. Wenn man von fernen Galaxien, von schwarzen Löchern, von fremden Planeten, und so weiter erzählt, dann erreicht man oft auch die, die eher skeptisch sind, ob sie sich auf die Wissenschaft einlassen sollen. Fange ich dagegen mit Mathematik an, dann sperren sich schnell auch diejenigen dagegen, die eigentlich ein Grundinteresse an der Wissenschaft haben. Diese Vorurteile zu überkommen, ist verdammt schwierig, was sicherlich auch daran liegt, dass viele sich nur ungern an den Mathematikunterricht in der Schule erinnern. Das liegt nicht unbedingt an den Lehrerinnen und Lehrern! Ich kenne einige und weiß, wie engagiert sie sein können (obwohl es natürlich auch schlechten Matheunterricht gibt; ich selbst habe genau darunter gelitten). Ich habe vor ein paar Jahren schon ausführlich zu diesem Thema geschrieben. Der Kernpunkt meiner Aussage war das hier:
Wenn in der Schule Englisch oder Französisch unterrichtet wird, dann lehrt man dort nicht nur Vokabeln oder Grammatik. Wäre das so, dann wären diese Fächer vermutlich ebenso unbeliebt wie es die Mathematik heute ist. Man muss natürlich Vokabeln und Grammatik lernen, ohne das geht es nicht. Aber man lernt auch, was man mit dieser Sprache anstellen kann. Man erfährt etwas über die französisch- oder englischsprachige Kultur und Geschichte. Über die Länder in denen diese Sprache gesprochen wird. Über die Menschen dort, die Literatur, die Filme, die Küche, und so weiter. Man macht Exkursionen in die entsprechenden Länder und lädt Native-Speaker ein. Kurz gesagt: Man probiert das gesamte Universum dessen zu vermitteln, was diese Sprache ausmacht und wobei sie eine Rolle spielt. Wer in der Schule englisch oder französisch lernt, lernt nicht nur die formalen Eigenschaften einer Fremdsprache kennen, sondern auch die Welt, die von dieser Sprache dominiert wird und in der sie verwendet werden kann.
Genau so sollte es auch mit der Mathematik sein. Mathematik ist eine fremde Sprache und wenn man sie wirklich verstehen will, darf man sich nicht nur auf die Vokabeln und die Grammatik beschränken. Zu wissen, was das “Orthogonalitätskriterium” ist, ist wichtig (ebenso wichtig wie zu wissen, wie man être richtig konjugiert): Zwei Vektoren stehen genau dann orthogonal (also im rechten Winkel) zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist. Diese Definition muss man – genau so wie das “suis, es, est, sommes, êtes, sont” – irgendwann einmal erklärt bekommen und dann auswendig lernen. Aber man sollte dann auch erklärt bekommen, was man mit diesem Wissen über die Welt erfahren kann!
Die “Grammatik” von Vektoren und Winkeln braucht man zum Beispiel, wenn man über den Raum “reden” möchte. Wenn es in Science-Fiction-Filmen oder Büchern um “fremde Dimensionen” geht, um “parallele Universen”, die neben unserem aber in einer “anderen Richtung” existieren, oder wenn Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler von der vierdimensionalen Raumzeit sprechen; von zusätzlichen Dimensionen in der String-Theorie; Warp-Antrieben, Wurmlöcher, und so weiter: Dann ist es meistens nicht schwer, ein Publikum zu finden, das von solchen Themen enorm fasziniert ist (und oft sind es die gleichen Jugendlichen, die den Mathe-Unterricht nicht leiden können).
Wenn man aber nicht nur fasziniert sein möchte, sondern das Fundament dieser Faszination auch verstehen will, dann muss man sich unter anderem mit orthogonalen Vektoren beschäftigen. Dann muss man sich klar machen, dass unser dreidimensionaler Raum von drei zueinander jeweils orthogonalen Vektoren aufgespannt wird und wir uns keinen vierten Vektor vorstellen können, der zu den drei vorherigen ebenfalls orthogonal ist. Weswegen es auch unmöglich ist, uns einen vier- oder mehrdimensionalen Raum vorzustellen. Mit der richtigen Sprache und der richtigen Grammatik können wir solche Räume aber beschreiben, analysieren und erforschen.
Aber ich vermute, in den wenigstens Schulklassen wird der Unterricht über das Orthogonalitätskriterium von Geschichten über andere Dimensionen und Wurmlöcher begleitet. Man wird im Mathematik-Unterricht auch eher selten Exkursionen veranstalten oder “Native-Speaker” einladen (in meiner Schulzeit zumindest gab es nichts davon). Ich kenne zwar einige Mathematik-Lehrerinnen und -Lehrer die sich sehr bemühen und genau das tun. Die in ihren Klassen nicht nur Mathe-Vokabeln und Mathe-Grammatik unterrichten, sondern das ganze faszinierende Universum vermitteln, das einem die Kenntnis dieser Sprache eröffnet. Aber das sind Einzelfälle. Und genau das ist das Problem.
Ich habe da natürlich leicht reden. Ich bin kein Lehrer, ich muss mich nicht an Lehrpläne halten und mit all den anderen Dingen, Regeln und bürokratisch/politischen Widrigkeiten auseinandersetzen, die dem mathematischen Lehrpersonal an den Schulen das Leben schwer machen. Wir haben ja gerade während der Corona-Pandemie erlebt, wie absurd schwer es ist, irgendwas zu reformieren, was mit den Schulen zu tun hat. Den Lehrplan für ein ganzes Fach so anzupassen, dass man am Ende Jugendliche bekommt, die keine irrationale Angst mehr vor der Mathematik haben, ist quasi utopisch. Aber im Prinzip bleibe ich bei meiner Meinung: Niemand käme auf die Idee, eine Fremdsprache allein anhand ihrer linguistischen Formalitäten zu unterrichten. Ein Lehrer, der seine Klasse nur Vokabeln auswendig lernen lässt, müsste sich zurecht der Kritik stellen; eine Lehrerin, die sich abseits des Wörterbuchs nicht mit der Sprache beschäftigt die sie unterrichten soll, ebenso. Und natürlich ist mir bewusst, dass der Vergleich zwischen Mathematik und Fremdsprachenunterricht nur bis zu gewissen Grenzen funktioniert. Mathematik ist wesentlich abstrakter als eine „normale“ Sprache.
„Mathematik hat vielleicht den höchsten Abstraktionsgrad aller Schulfächer. Das heißt aber nicht, dass sie ,zu abstrakt‘ ist.“ Das sagt Michael Eichmair, Professor an der Fakultät für Mathematik der Uni Wien, in einem lesenswerten Interview mit dem ORF. Er stellt aber auch gleich klar, dass es gerade diese Fähigkeit zur Abstraktion ist, die die Mathematik so enorm vielseitig und nützlich macht. Er hat die Initiative Mathematik macht Freu(n)de gegründet, um Lehrende zu unterstützen. Ähnliche Einrichtungen gibt es auch anderswo, zum Beispiel an der Universität Innsbruck.
Vermutlich ist genau das der beste Weg. Man muss daran arbeiten, den Mathematikunterricht so zu gestalten, dass die Schülerinnen und Schüler auch wissen, warum sie das lernen, was sie lernen. Sie müssen motiviert sein – aber das ist eigentlich auch nur eine Binsenweisheit. Ich bin ein großer Fan der Mathematik; ich habe mich nicht zufällig in meiner Forschung für die mathelastige Disziplin der Himmelsmechanik entschieden und ich weiß, wie viele enorm faszinierende Geschichten hinter den Zahlen und Formeln zu finden sind. Jedesmal wenn ich nach neuen Themen für meine „Formelwelt“-Kolumne suche, finde ich mehr, als ich schreiben kann. Aber ich fühle mich dennoch ein wenig überfordert, wenn es darum geht einen Weg zu finden, das Image der Mathematik nachhaltig zu verbessern. Die Vorurteile und Ängste setzen schon sehr früh ein und wenn sie erst mal da sind, sind sie kaum noch weg zu kriegen.
Sicher ist nur: Mathematik ist wichtig. Sie ist die Grundlage jeder Naturwissenschaft und wichtiges Werkzeug vieler andere Forschungsdisziplinen. Mathematik ist die Sprache die man beherrschen muss, wenn man die Welt grundlegend verstehen will. Wer Mathematik beherrscht, hat ein Instrument zur Verfügung, mit dem sich sehr viele Dinge sehr viel klarer und einfacher betrachten lassen als ohne. Und wer sie nicht beherrscht läuft Gefahr, von denjenigen manipuliert zu werden, die die Mathematik zu ihrem eigenen Vorteil einsetzen wollen. Michael Eichmair sagt im Interview „Wenn wir in Zukunft eine Wissensgesellschaft sein wollen, dann werden wir ohne Angst mit der Mathematik arbeiten müssen“ und hat damit absolut Recht.
Ich werde weiterhin nach einem Weg suchen, wie man gegen die Angst vor der Mathematik vorgehen kann und währenddessen weiterhin meine Kolumnen für die Formelwelt schreiben.
(Und in der Zwischenzeit freue ich mich über Hinweise zu weiteren Projekten, die sich mit genau dieser Thematik beschäftigen)
Wenn ein Komponist die Noten eines Musikstückes liest, dann hört er die Musik im Ohr.
Wenn ein mathematisch begabter Mensch eine Formel liest, dann weiß er, worum es sich handelt.
Beides sind Begabungen die man hat oder nicht hat.
Deswegen gibt es Menschen , die falsch singen oder falsch rechnen.
Der Musiker sieht bei der Note „C“ die Taste des Klaviers im Kopf und weiß wie sich ein C anhört.
Der Mathematiker sieht bei 1 + Wurzel5 /2
den Goldenen Schnitt vor sich und gerät ins Schwärmen.
Und wenn man eine dieser zwei Begabungen bei sich entdeckt, dann sollte man sie nutzen.
@hwied: „Wenn ein mathematisch begabter Mensch eine Formel liest, dann weiß er, worum es sich handelt.
Beides sind Begabungen die man hat oder nicht hat.
Deswegen gibt es Menschen , die falsch singen oder falsch rechnen. „
Das mag sein. Wenn man in der Mathematik FORSCHEN will, dann braucht es uU durchaus Begabung. Aber es ist definitiv nicht so, dass man das „Mathe ist so kompliziert, das verstehe ich nicht“ angeboren kriegt oder nicht. Das, was Mathematik zu einem wichtigen und faszinierenden Werkzeug macht, kann man lernen. Alle können das.
@hwied
Ich habe gelernt OHNE hinzuschauen meine zehn Finger schnell die richtigen Buchstaben auf der Schreibmaschine bewegen zu lassen, bzw. meine Synapsen … Aber wenn mich jemand fragt wo das c auf Tastatur ist, dann muss ich lange überlegen.
Alle Menschen haben die SELBE Vernunftbegabung, doch im wettbewerbsbedingten „Zusammenleben“ ist Vernunft konfusionsbedingt nur GLEICH und …!?
In der Schule war Mathematik und speziell Formeln ein Greuel, heute kann ich sehr viel besser damit umgehen, aber interessieren und/oder verstehen ist mir völlig egal.
Ich finde, dass genau in der Abstraktheit das Problem des Schulunterrichts liegt.
Oder vielmehr in der „abgehobenen Abstraktheit“.
Damit meine ich, dass der Unterricht oft so gestaltet ist, dass er sich ausschliesslich in der abstrakten Welt bewegt.
Ein Beispiel:
Eine Fourier-Transformation hatte ich in der Schule nie richtig begriffen.
Erst als ich merkte dass man diese Dinge in der MP3-Kompression braucht um Audio-Signale effizient zu kodieren war bei mir das Interesse geweckt.
Und dieses Interesse bezog sich nicht nur auf MP3-Kompression, sondern alleine der Gedanke dass sich jeder Kurvenverlauf als Sammlung von Frequenzanteilen beschreiben laesst fand ich ploetzlich faszinierend.
Da war ich leider schon aus der Schule heraus,- und so war es unglaublich schwierig sich dieses Material selber bei zu bringen.
Dies ist ein Beispiel in Bezug auf Mathematik in der Informatik,- aber ich bin mir sicher dass dies auch fuer andere Beispiele gilt.
Die Physik, Informatik (oder die Astronomie) ist voller wundervoller Mathematik,- leider kommen diese wundervollen Anwendungen oft nicht im Unterricht vor.
Dort sitzt man dann und ueberlegt „wo schneidet die Funktion die Nulllinie“,- und hat „keine Ahnung wofuer man das brauchen koennte“
Grade dieses „wofuer brauche ich das“ ist eine der haeufigsten Kritikpunkte der Schueler.
Die Abstrakte Ebende muss mit der realen Welt geerdet werden,- sonst haengt sie einfach in der Luft.
Nur wenige Mathematikbücher haben auf der linken Seite die Herleitung einer mathematischen Formel und auf der rechten Seite eine Anwendung dafür in der Technik. So sollte es sein.
Bei den Lehrern gibt es zwei Typen.
1. die nach einer kurzen Einleitung die Formel auswendig lernen lassen und dann damit rechnen und rechnen und rechnen.
Der Schüler besteht damit gut die Prüfungsaufgaben , aber er hat nicht verstanden, was und warum man das so macht.
2. Die Lehrer, die keine Formel vorgeben und ein praktisches Problem logisch auf verschiedenen Wegen lösen lassen. Für Übungsaufgaben ist dann nur noch wenig Zeit. Am Ende kurz vor der Prüfung wird dann die Formel verraten. Die Schüler haben dann die Möglichkeit, mit der Formel zu rechnen und wenn sie die Formel vergessen haben, sich selbst die Formel herzuleiten.
FF
Ich war auch Mathelehrer. In der Mittelstufe gibt es Schüler(innen) die kämpfen mit den Zahlen. Der Extremfall, ein 15jähriges Mädchen, gut in Sprachen und Deutsch, konnte nur bis 10 zählen. Kein Witz, 11 war eine Größe ,unvorstellbar für das Mädchen. Wer das nicht selbst erlebt hat, der kann sich das nicht vorstellen.
Aber, die meisten schaffen Mathe. Ob der Schüler dabei nur reproduktiv ist oder die Sache durchschaut hat, spielt keine Rolle, solange man die Prüfungsaufgaben löst.
@hwied: „Kein Witz, 11 war eine Größe ,unvorstellbar für das Mädchen.“
Man kann immer alles zu Tode relativieren. Natürlich gibt es Menschen, die haben Dyskalkulie oder etwas anderes, dass es ihnen schwierig bis unmöglich macht, Mathematik zu verstehen. Aber das ist mit Sicherheit nicht die Mehrheit. Die Mehrheit versteht deswegen nix von Mathe, weil sie denken, dass sie zu blöd dafür sind. Oder dass Mathe langweilig, unnötig, etc ist. Ich werde auch kein Konzerpianist werden. Aber wenn ich mich hinsetze und ein wenig übe, werde ich lernen können, wie man Melodien auf einem Klavier spielt. Genau so könnten die allermeisten einen vernünftigen Eindruck davon bekommen, was Mathematik ist. Wenn da eben nicht die ganzen Vorurteile und die zum Teil falschen pädagogischen Ansätze wären.
„Ob der Schüler dabei nur reproduktiv ist oder die Sache durchschaut hat, spielt keine Rolle, solange man die Prüfungsaufgaben löst.“
Das ist genau so ein falscher Ansatz.
FF
Der Lehrer ist im Zugzwang.
Man kann nicht Mathe unterrichten, wie es vernünftig wäre, mit Freude , Beispielen , Versuchen bei der Spieletheorie, wenn die Zeit fehlt.
Wir mussten einen Stoffverteilungsplan abgeben, wo jede Stunde aufgelistet ist und was das Lernziel der Stunde ist. Für Lehrromantik ist da kein Platz mehr.
Zur Information: 70 – 75 % der Schüler waren immer Migranten mit Sprachproblemen. Die Textaufgaben konnten die oft wegen Sprachdefiziten nicht verstehen.
Lieber Florian, erstmal Danke für Deine grossartige Arbeit auf diesem Gebiet!
Es gibt immer wieder Lehrer, die durch ihre Klarheit und Verständlichkeit herausstechen. Mir ist kürzlich diesbezüglich Prof. Mathias Bärtl positiv aufgefallen. Sein Fach ist die Statistik:
https://www.youtube.com/channel/UCtBEklAtHHji2V1TsaTzZXw
Als gelernter Physiker, Doktor der Naturwissenschaften und praktizierender Ingenieur in der Kerntechnik habe ich mit einer ganz bescheidenen Nachhilfe das Auslangen gefunden:
https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_09.html
https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_22.html
Weniger ist oft mehr. Richard Feynman war ein talentierter Geschichtenerzähler und hatte in seinen Vorlesungen vermittelt, wie man selbst Probleme löst. Da kann man sich meist die Lehrer sparen.
Wenn einer talentierter ist, hört er im Unterricht weg und beschäftigt sich mit dem was ihn wirklich interessiert:
Pauli went to school in Vienna. Toward the end of his high school studies he became acquainted with Einstein’s general theory of relativity, which at that time was completely new. He read it secretly during dull classroom hours. He was truly proficient in higher mathematics, for he had previously studied Jordan’s Cours d’ analyse in the same manner. Einstein’s papers had made a deep impression on him. It was, he said, as if scales had fallen from his eyes; one day, so it appeared to him, he suddenly understood the general theory of relativity.
https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/physics-biographies/wolfgang-pauli
Mit 21 hatte Pauli sein Gesellenstück abgeliefert, nach hundert Jahren immer noch aktuell und derzeit bei Springer als Hardcover für 119,99€ erhältlich.
Nach meiner Erfahrung und der aller Leute, mit denen ich bisher darüber sprach, Frauen wie Männer, junge wie alte, gebildete und weniger gebildete, sind einfach gefühlte 90% der Lehrer nicht wirklich für ihren Beruf geeignet, weil sie die wichtigste Eigenschaft nicht mitbringen: Begeisterung.
Im Gegenteil: nicht selten „schaffen“ sie es sogar an sich interessante Themen so monoton, langweilig und verlässlich ermüdend zu erschöpfen, im Wortsinne, dass man vor das Lernen getrost ein negatives Vorzeichen setzen kann. Einzig Interesse ist der verlässliche Motor, um dauerhaft am Ball bleiben zu können. Nicht Bildung, nicht Intelligenz oder Sonstiges. Interesse kann von sich aus da sein und entstehen, man kann es aber auch erzeugen. Wenn man es kann.
Ansonsten hat man entweder passives Minimallernen, für die Schule only also bzw. ohne echte Adaption und Weiterverarbeitung, oder noch nicht mal das. Das ist nicht auf Mathematik beschränkt, wird dabei aber aufgrund des dauerhaft hohen Abstraktionsgrades, der zusätzlichen Aufwand erfordert, wenn keine Präferenzen gegeben sind, besonders deutlich.
Florian, steht eigentlich auf der Agenda den Formeltieren Leben einzuhauchen?
in „Wer ein bisschen mehr wissen will: Hier, hier und hier habe ich genau diese Themen ausführlich behandelt.“
fehlen die links.
@Bernd S.
Die vermissten Links finden sich in dem Artikel, der über dem Zitierten unter ’schon ausführlich zu diesem Thema geschrieben‘ zu erreichen ist.
Zu Beginn meines Informatikstudiums suchte ich nach guter Mathehilfe online. Jetzt, 15 Jahre später sehe ich, dass Matroids Matheplanet nach wie vor um die Erde kreist. Diese Community war damals Gold wert. Und ein kurzer Blick auf die Seite bestätigt, dass es noch immer so ist. Für jedes Level, Einsteiger, Experten, Neugierige, da bekomme ich fast wieder Lust auf Mathe, just for fun. Meintest du sowas mit Projekt?
Interessierter Laie, aber mit dem Thema weder verwandt noch verschwägert
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Ich, geboren 1954, habe 1971 die Mittlere Reife (10.Klasse Realschule) geschafft.
Bei uns hieß MINT: Mathe (I gabs noch nicht) Bio, Chemie, Physik, Werken.
Mathe bestand daraus das Schulbuch Seite 1 bis — abzuarbeiten, etliche Formeln zu lernen und (aus heutiger Sicht) unlogische Textaufgaben zu lösen. Ein paar meiner Mitschüler haben heute einen DR.-Titel, meist in technischen Berufen, mein Abschluss in Klasse 10 in diesen Fächern lag im Durchschnitt bei 4.
Trotzdem interessiere ich mich heute für diese Themen, habe z.B. Spektrum der Wissenschaft im Abo und lese täglich Scinexx.der und die scienceblogs.
Und regelmäßig bekomme ich Bauchweh wenn ich dann Artikel hier im Blog wie den hier unten lese:
„Theorema Magnum MCMLXXXI: die Kazhdan-Lusztig-Vermutungen“ (und andere Theorema Magnum-Artikel von Thilo):
Einleitung:
„Geometrische Darstellungstheorie untersucht Darstellungen algebraischer Gruppen durch geometrisch definierte Wirkungen, z.B. auf Schnitten von Bündeln oder Garben bzw. auf deren Kohomologie. Ein klassisches Beispiel ist der Satz von Borel-Weil-Bott, der die irreduziblen Darstellungen einer Lie-Gruppen G als Kohomologiegruppen geeigneter Linienbündel über der Fahnenmannigfaltigkeit G/B beschreibt“
Oder in anderen Artikeln erfahren muss dass es „wunderschöne“ Gleichungen gibt die leider sehr unverständlich sind und zu großen Teilen aus Hiroglyphen irgendwelcher urtümlicher Sprachen bestehen.
Auch das Beispiel oben im Beitrag (Bild: Formeln sind super) gehört dazu.
Was, zum Teufel, ist an diesen Formeln „Super“, „schön“ und „wundervoll“?
Woraus besteht die Faszination die Sie in der Mathematik finden??
Trotz >GrübelGrübel<
Grüße aus dem schönen Rheinland
Rolf
Aktuelle Schulbücher sind voll von Anwendungen, zumindest am Gymnasium in Bayern (andere Bücher kenne ich kaum); kein Thema des Lehrplans in Mathematik wird dort als reine Theorie und ohne Anwendungsbezug behandelt.
Sicher sind viele Anwendungsaufgaben etwas gekünstelt oder stark vereinfacht, was aber daran liegt, dass echte Anwendungen aus der Wissenschaft zu schwierig für den Schulunterricht in niedrigen Klassen sind. Natürlich gibt es auch viele reine „Rechenaufgaben“, denn das Handwerkszeug muss eben mühsam erlernt und geübt werden.
VG
@Daddy54:
Ok, das ist aber auch wirklich ein Extrembeispiel. Das Blog von Thilo ist halt im wesentlichen ein Blog von einem Mathematiker für Mathematiker. Ich verstehe von dem, was du darunter zitierst auch kein Wort – obwohl ich im Studium fünf Semester Mathe als Nebenfach hatte … (na gut, von Lie-Gruppen habe ich schon mal was gehört … das ist aber auch alles).
Das allerdings kann ich zumindest grob „lesen“ – bzw. könnte ich, wenn die Handschrift nicht so sauig wäre (die ist ja schlimmer als meine … meine Güte!).
Ich vermute mal, dass das ein Hamiltonian für irgendein Bahnproblem ist – also kein Problem mit irgendeiner Bundesbahn, sondern die Bewegung eines Stück Felsens im Weltraum oder sowas …
Und ja: Das ist elegant. Aus der Mechanik, die Newton formuliert hat, haben Leute wie Lagrange und Hamilton im 18. und 19. Jahrhundert eine mathematische Formulierung entwickelt die schön, elegant und sehr effizient bei der Beschreibung selbst wirklich komplizierter Probleme ist.
Der Knackpunkt dabei ist: Diese Schönheit und Eleganz erschließt sich nur dem, der die Mathematik dahinter wenigstens ein bisschen verstanden hat. Das hat übrigens nichts mit irgendeinem „Talent“ zu tun, wie weiter oben behauptet wurde. Das ist Unsinn. Das ist bloß Einlesen, Verstehen und Übung (Blut, Schweiß und Tränen … und ich weiß wovon ich rede! Naja, ok. Das mit dem „Blut“ kannst du streichen 🙂 ).
Mal anders betrachtet:
Stell dir vor, du würdest dich für Japanische Literatur und Poesie interessieren. ZB. für die Romane von Haruki Murakami, oder so. Und stell dir weiter vor, du würdest das alles nur in deutscher Übersetzung lesen, weil du nunmal kein Japanisch kannst und schon gar keine Japanischen Schriftzeichen wie Kanji.
Und stell dir weiter vor, dass du jemand kennen lernst, der Japanisch kann und die Schriftzeichen lesen kann und dir versucht die Schönheit, die in dieser Schriftsprache liegt zu erklären …
Selbst wenn du dann immer noch keine Japanischen Schriftzeichen lesen könntest, so wärst du doch sicher geneigt, demjenigen zu glauben .. Oder?
@PDP10
Hmm, deine Ansicht dazu ist eie Überlegung wert,
Ich habe aber immer noch ein Problem mit dem Wort „Schönheit“.
Um bei den Sprachen zu bleiben, ich kenne einpaar Leute die französisch sehr schön und elegant finden. Ich kann mit dieser Sprache überhaupt nichts anfangen, Eher schon mit spanisch, obwohl das zur gleichen Sprachfamilie gehört.
Aber eine fremde Sprache zu lernen ist, meiner Meinung nach, immer noch was anderes als Mathematik zu kapieren.
Wenn ich eine Sprache spreche, kann ich mich, selbst in den Anfängen, mit vielen Leuten unterhalten- Wenn ich mal gelernt habe das „See“ auch „Lake“, „Lac“ oder „Lago“ bedeutet, habe ich schon viel gewonnen,
In der Mathematik kann ich mich nicht in der S-Bahn mit jemandem via „Formelsprache“ unterhalten, dafür muss ich neben den Formeln und deren Auflösung auch das Fachenglisch dazu können.
Das funktioniert nur in Fachbereichen, wenn ich meinem Sitznachbarn in der S-Bahn „E=MC²“ an den Kopf werfe, weiß ich nicht wie daraus eine Unterhaltung entstehen soll. „Lake …?“ mit Fingerzeig aus dem Zugfenster hilft da schon.
Das ist schon ein Unterschied. Selbst bei Chinesisch.
Oder?
Insofern ist die Frage, warum ich was lernen soll, schon Interessant: Sprachen für die tägliche Nutzung (Chinesisch für die Betribsanleitung meines neuen I-Phones) oder mathematische Formeln für ???
Liebe Grüße aus dem Rheinland
@Daddy54: „In der Mathematik kann ich mich nicht in der S-Bahn mit jemandem via “Formelsprache” unterhalten, dafür muss ich neben den Formeln und deren Auflösung auch das Fachenglisch dazu können.“
Das mit der Sprache ist ja auch nur eine Metapher, die irgendwann nicht mehr funktioniert. Natürlich kann man nicht mit jemandem in „Mathematik“ reden. Aber es ist insofern eine „Sprache“, als das man sie beherrschen muss, wenn man bestimmte Dinge über die Welt verstehen will. Nehmen wir nochmal dein Beispiel: Du kannst mit „Lake“ und anderen Wörtern rudimentär mit englischsprechenden Menschen kommunizieren. Das ist durchaus praktisch für den Alltag. Genau so wie es praktisch für den Alltag ist, wenn du Dreisatz, Bruchrechnen und ein paar andere rudimentäre Mathe-Techniken beherrscht. Aber weder eine englische Vokabelliste, noch eine Formelsammlung ist „schön“. Höchstens nützlich. Wenn du aber zB tief in die Kultur und Geschichte Englands eintauchen willst, dann wirst du Englisch auf einem ganz anderen Niveau beherrschen müssen. Du wirst nicht nur fließend englisch sprechen müssen, sondern vielleicht auch Altenglisch und Mittelenglisch. Du wirst dich nicht nur mit der Sprache selbst beschäftigen müssen, sondern auch mit den Menschen, die sie angewandt haben und den Situationen, in denen sie das getan haben. Kurz: Du wirst eine komplett andere Welt erfahren (müssen). Mit der Mathematik ist es genau so. Wenn du wissen willst, wie sich das Universum entwickelt; wie die Materie aufgebaut ist; wie ein Stern funktioniert – oder, um etwas näher am Alltag zu sein – wenn du wissen willst, wie ein Mikrowellenherd funktioniert, wie Daten im Internet übertragen werden oder warum der Amazon-Algorithmus dir die Dinge vorschlägt, die er vorschlägt: Dann kannst du dir das ohne Formeln von Wissenschaftskommunikator*innen erklären lassen. Damit kommst du aber nicht beliebig weit; ein wirklich intuitives Verständnis erreichst du nur, wenn du die Sprache, in der das alles verständlich ist, auch selbst beherrscht. Und das ist die Mathematik. Die dann in dieser Funktion ebenso „schön“ sein kann, wie ein Sonett von Shakespeare. Genauso wie der englische Dichter mit ein paar höchst genialen Kombinationen simpler Symbole die Gefühle und Gedanken von Menschen auf eine Weise ausdrücken kann, die du selbst auszudrücken so nie in der Lage gewesen wärst, kann jemand der Mathematik beherrscht auf ein paar Symbole blicken, die eine mathematische Gleichung bilden und höchst erstaunt, fasziniert und befriedigt darüber sein, wie genial und elegant man damit in der Lage ist, fundamentale Zusammenhänge in der Natur auszudrücken.
Natürlich „braucht“ man die Mathematik nicht. Du brauchst auch die Lektüre von Shakespeare nicht. Wir brauchen auch keine Musik, keine Museen, keine Filme, usw. Wir „brauchen“ nur Nahrung und ausreichend viel Sex um uns als Spezies fortzupflanzen. Aber all das andere: Die Kunst, die Kultur, usw sind es eben, die uns zu den Menschen machen, die wir sind. Mathematik ist ganz genau so Kultur wie eine Symphonie, ein Buch oder ein Gemälde. Ihr wohnt jede Menge Faszination inne, die sich aber eben – wie in der Musik, der Literatur oder der Malerei – nicht immer auf den ersten Blick erschließt.
Ich bin auch Jahrgang 1954, habe das Abitur aber erst 2016 abgelegt. Jetzt, während der Pandemie, hatte ich Gelegenheit mit zwei Enkelkindern Mathe zu lernen und habe dabei festgestellt, dass ich auch gerne so Mathe gelernt hätte.
Die Jüngere, 2. Schuljahr, hatte anfangs auch Probleme mit dem Sprung in die Zehner, hat das dann aber schnell verstanden: mit Hilfe eines Abakus meinerseits, was nicht zum vollständigen Verständnis geführt hatte, aber ihre Lehrerin hat es ihr dann noch auf andere Weise (Piaget) erklärt und dann war der Groschen gefallen.
Den Kindern werden heute immer mehrere Rechenwege an die Hand gegeben und sie können die benutzen, die ihnen liegen. Das Problem liegt hier meines Erachtens eher bei den Eltern, die auf ihren Rechenweg beharren und sich nicht die geringe Mühe machen, die anderen Rechenwege auch nur anzuschauen.
Vor kurzem hatte ich noch das Vergnügen mit einem weiteren Enkel (3. Schuljahr, von der jüngeren Tochter) Hausaufgaben zu machen. Sie rechnete eine (aus ihrer Sicht) schwierige Aufgabe sehr flott. Ich fragte sie dann, wie sie das denn gerechnet habe und es stellte sich heraus, dass sie das auf einem eher komplizierten Weg gerechnet hatte. Sie hat mir dann ihren Rechenweg erklärt (!) und ich fand ihn cool – ihr Vater wohl weniger …
Nun gut, ich habe sie dann trotzdem bestärkt, weil es ihr später von Vorteil sein kann, wenn sie kompliziertere Denkvorgänge so beherrscht, gerade in der Mathematik.
Mit dem Enkel aus dem 2. Schuljahr habe ich ein- bis zweimal die Woche Hausaufgaben gemacht, ihrer älteren Schwester, die in der Grundschule eine Einserschülerin war, habe ich nur bei Problemen, die jetzt in der 5. Klasse Gesamtschule, aufkamen geholfen. Weg-Zeit-Berechnungen machten ihr Probleme und ihr, die sonst immer alles sofort verstanden hatte, frustrierte das sehr. Die Textaufgaben waren aus ihrer Lebenswelt, aber teilweise doch mathematisch formuliert. Ich habe ihr dann den Tipp meiner Mathelehrerin vom Abendgymnasium weitergegeben: Was haben wir, was ist gegeben; was suchen wir, was soll am Ende herauskommen. Es war dann eine Freude zu sehen, wie sie ihr Problem selbständig lösen konnte.
Da die beiden Kinder gerne lesen, hören sie auch gerne Geschichten. Nach den Hausaufgaben spielen wir zusammen und manchmal erzähle ich auch Geschichten, z. B. über ungelöste Probleme in der Mathematik.
Darüber sind wir auch zum Thema Schönheit von mathematischen Formeln gekommen. Das war Anfang April und auf die Frage, welche Formel ich denn als die schönste empfinde, hatte ich E=mc² genannt und kurz die Notation erklärt.
Vor ein paar Tagen rief nun das jüngere Enkelkind an und es entwickelte sich folgender Dialog:
„Opa, warum nennst Du mich nicht Professor Einsteinchen?“
„Warum?“
„Ja, ich habe das Problem gelöst.“
„Ach, wie denn?“
„Ist doch ganz einfach! E ist gleich zwei Zentimeter.“
Da sind zwar einige Missverständnisse drin, aber alleine die Tatsache, dass sich das Kind über einen so langen Zeitraum mit einer Formel beschäftigt hat, hat mir sehr viel Freude bereitet.
Grundsätzlich stimme ich erstmal allem in Florians #19 bei, aber vielleicht noch als Zusatz:
Ein bisschen so, wie chinesische Schriftzeichen auch von anderen asiatischen Sprachen verwendet werden, und es deswegen sein kann, dass eine Japanerin zumindest grob versteht, worum es in einem chinesischen Text geht (ohne vielleicht die geringste Ahnung zu haben, wie man das aussprechen würde), genau so kann es auch mit mathematischen Formeln sein.
Ich hatte einst einen ausländischen Kommilitonen, der kein Deutsch konnte, aber trotzdem das deutsche Skript des Dozenten verwendet hat, weil „Maths is Maths“ – „Mathe ist Mathe“, die Formeln kann man verstehen, egal in welcher Sprache der Text darum verfasst ist.
Zusatz:
Vielleicht hilft es auch, zu erwähnen dass es mehrere verschiedene Ebenen von „schön“ gibt, die einander ergänzen können oder unabhängig sind:
Zum einen kann eine Formel „schön“ sein, weil sie einen faszinierenden Sachverhalt beschreibt: Weil, wenn man mal genug „Vokabeln“ und „Grammatik“ gelernt hat, man beim Lesen einer Gleichung plötzlich die Bewegungen von Planeten vor Augen hat, von kleinen Gasteilchen, die schnell durch die Gegend fliegen oder von gut geschossenen Fußbällen.
Ein anderer Aspekt ist „Einfachheit“, oder oft auch „Eleganz“: Wenn ich weiß, dass ein Zusammenhang eigentlich sehr kompliziert sein kann, und seitenlang verschiedene Einflüsse aufliste, dann ist es schon ein besonderes Gefühl, am Ende bei einer vergleichsweise kurzen Formel anzukommen: All die Komplexität, die ich davor betrachtet habe, lässt sich reduzieren auf eine einfache Zeile (zum Beispiel weil ich eine besonders gute Beschreibung gefunden habe, oder sich verschiedene Einflüsse gerade im richtigen Maß gegenseitig aufheben).
Und drittens, und das sollte man in meinen Augen auch nicht vernachlässigen, gibt es ganz simple ästhetische Schönheit: Unabhängig von der Bedeutung kann diese Mischung aus griechischen und römischen Buchstaben, mit ganz eigenen, extra erfundenen Symbolen auch einfach „schön“ aussehen. Natürlich geht das oft unter in der Erinnerung an die Schulzeit und Reaktionen wie „Ich weiß nicht was das bedeutet, aber gleich kommt jemand und schreit mich an, weil ich es nicht verstehe“. Aber wenn man einfach akzeptiert, das zwar nicht lesen zu können, aber auch nicht können zu müssen, dann können Formeln auch die selbe Faszination auslösen wie z.B. Runeninschriften oder arabische Kaligraphien.
PDP10
Matheverständnis ist Begabung. Nur weil viele Leute sie haben, meinst du, das wäre nicht so.
So wie viele Migranten nach 30 Jahren nicht richtig Deutsch sprechen können, so können manche Schüler Mathe nicht verstehen.
Das Einmaleins auswendig zu können ist kein Verständnis. Erst wenn man begreift, dass Mathe eine Sprache ist, die den Logikgesetzen gehorcht, dann beginnt man die Strukturen der Mathematik zu verstehen. Das interessiert sogar Techniker nicht. Die verwenden Mathe als Werkzeug.
Der Klassiker: Unser Schulsystem ist Mist! | Harald Lesch
2.944.886 Aufrufe, 13.939 Kommentare •21.09.2016
https://www.youtube.com/watch?v=-q0Sm8Kldn0
Karl Mistelberger,
War ich froh, als Herr Lesch fertig war. Sein verdict hätte man in zwei Sätzen sagen können. 1. Lernen braucht Muse und Zeit 2. Das 8 jährige Gymnasium ist eine Fehlentscheidung . Punkt.
Herr Lesch vergisst, dass der Fächerkanon größer geworden ist. Vor 30 Jahren noch gab es wöchentlich noch 2 Stunden Ph und 2 Stunden Ch und 2 Stunden Bio. Heute gibt es den Fächervebund aus Ph/Bio/Ch mit 3 Stunden wöchentlich. In den naturwissenschaftlichen Fächern kann man die Mathematik anwenden. Das fällt jetzt weg. Wegen der Pisa Studien wurde auf diese Prüfung hin gelernt.
Dann gibt es die Fächer Informatik und Wirtschaftslehre neu. Woher nimmt man die Zeit ?
Also, Mathe ist nicht mehr der Nabel der Welt, es gibt jetzt die Apps und den Taschenrechner.
Nachtrag: Es gibt einen Zukunftsroman, das Thema ist der Krieg um den letzten Menschen auf der Erde, der noch weiß, wie man rechnet.
@ Florian und Jere, danke für eure Beiträge.
Ich glaube, so langsam fange ich an zu verstehen. Seltsam dass es 60 Jahre und dieses Medium hier braucht um einen Eindruck zu bekommen was Mathe ist. Meine Kinder hatte die Probleme glücklicherweise nicht. Die eine hat ihr Diplom im Finanzbereich, der andere den Master in Elektrotechnik, obwohl ich ihnen nie so richtig helfen konnte. Bei mir ist jetzt zwar Hopfen und Malz verloren, euch aber 2 Daumen hoch für diese Hilfe.
Danke und
Liebe Grüße aus dem schönen Rheinland.
Rolf
Also, eine Ware kostet 49,90 EUR netto.
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Nachtrag:
lustig, aber vor 1 1/2 Tagen hatte ich eine Diskussion mit meinem Junior über einen Artikel in Spektrum der Wissenschaft in dem es um neue Berechnungen der Unendlichkeit ging.. Für ihn war es selbstverständlich das Unendlich nicht gleich Unendlich ist: „1 hoch unendlich ist was anderes als 2 hoch unendlich oder 3 hoch unendlich …“. Für mich ist „Unendlich“ was absolutes. Egal ob 1x oder 10x unendlich, es gibt kein Ende, Punkt!
Dachte ich bis jetzt.
Jetzt sehe ich die Mathematiker etwa so wie den Musiker, den ich vor einiger Zeit in einem Zug beobachten konnte. Er hatte ein Notenblatt vor sich liegen, war dieses offensichtlich am „lesen“ und man konnte ihm ansehen das er beim Lesen die Musik „gehört“ und verstanden hat.
Da fehlt mir was, es wird auch nicht mehr kommen.
Liebe Grüße aus dem schönen Rheinland
Rolf
@ Karl-Heinz #25
Danke für den Zeigefinger, ab bei meinen Post ging es nicht um das zu rechnen was Sie da unter Mathe verstehen, mein Problem ist / war die hohe Mathematik in den Welten von Thilo u.Co (siehe meinen ersten Post #16 ).
Liebe Grüße aus dem schönen Rheinland
Rolf
@Daddy54
Na ja
Die Menge der reellen Zahlen ist mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen. Ich hatte mich, du wirst es mir nicht glauben, schon mal in einem endlichen Intervall zwischen eins und zwei verlaufen. 😉
@Karl-Heinz
siehst Du, das ist genau das was ich meine 🙂
Liebe Grüße aus dem schönen Rheinland
Rolf
@Daddy54
Wenn man die Beiträge von Thilo liest und damit in Unendliche Weiten der Abstraktion verstößt, darf man nicht verwundert sein, dass man sich fortlaufend kleiner und nicht
mehr so kompetent vorkommt. Das ist ganz normal. Gefühlslage halt. 🙂
@Daddy54:
Du musst gar nichts. Es ist ganz praktisch – auch im Alltagsleben – wenn man sich ein bisschen mit Mathe und vor allem Rechnen auskennt. Sonst aber nichts.
Du hast aber gefragt:
Das habe ich versucht dir mit dem Beispiel der Japanischen Schriftzeichen zu erklären. Für mich ist das nur Gekrakel. Aber ich weiß, dass es sowas wie Kalligraphie gibt und das eine hoch geschätze Kunst ist. Und daher kann ich nachvollziehen, wenn mir jemand erklärt, dass Japanische Gedichte im Original eine ganz eigene Art von Schönheit haben. Auch, wenn ich diese Schönheit nicht sehe – weil ich nunmal kein Japanisch kann.
Glaub‘ übrigens niemand, der behauptet, dass man für das „Verständnis“ von Mathematik irgendein mysteriöses „Talent“ braucht. Das ist Unsinn (und der, der das hier rein geschrieben hat, hat ein Verständnis von Pädagogik aus dem vorletzten Jahrhundert).
Jeder kann Mathematik verstehen. Das ist im Grunde tatsächlich so Ähnlich wie beim Lernen einer Sprache: Interesse, Übung, und nochmal Übung. Mit der Zeit versteht man dann sogar, was daran manchmal „schön“ oder „elegant“ ist. Bei mir war das jedenfalls so. Mein „Verständnis“ für Mathematik war Notwendigkeit. Keine Berufung.
„Talent“ oder „Begabung“ (falls irgendjemand weiß, was das eigentlich bedeutet, bitte melden) braucht man erst, wenn man sich auf dem Niveau von Thilo nebenan damit beschäftigt. Das ist aber immer so. Klavier spielen kann jeder lernen. Zum Konzertpianisten bringen es aber nur wenige. Trotzdem macht Klavier spielen sicher auch vielen, die keine Konzertpianisten werden großen Spaß. So what?
@Daddy54
Dazu hätte ich eine Leseempfehlung. In diesem Buch erklärt Rudolf Kippenhahn die Undendlichkeit(en) gut verständlich, ich wollte das mal meiner Nichte borgen, um ihr Interesse für Mathematik zu wecken, aber sie hat sich nicht wirklich dafür interessiert, jetzt geb ich ihr halt ein bisschen Nachhilfe für 4. Klasse Unterstufe Mathe, macht mir auch Freude.
Mein Neffe hingegen ist ein ziemlicher Mathe-Wiefzack, der bekommt das Buch demnächst, im Winter vielleicht, vorher soll er erst mal den nach(hoffentlich nicht zwischen)-Corona Sommer genießen und sich keinen Kopf machen.
Ich habs als Erwachsener gelesen, dafür ist es ebenfalls gut geeignet, man bekommt eine gute Vorstellung von der Unendlichkeit und den Unendlichkeiten jenseits davon.
@Daddy54(#26):
Unendlichkeiten sind so ein Thema bei dem es sehr wichtig ist, dass man klar sagt was genau man meint. Sonst kann man sehr leicht aneinander vorbei reden. „2 hoch unendlich“ kann wieder einfach nur unendlich sein, oder es kann eine andere („größere“) Unendlichkeit sein. Das hängt davon ab, was genau man mit „unendlich“ meint.
Ja, es gibt in der Mathematik einen Unendlichkeitsbegriff, bei dem es sinnvoll ist, von unterschiedlich großen Unendlichkeiten zu sprechen. Aber da geht es nicht wirklich um Zahlen im eigentlichen Sinn, sondern um die „Größe“ von Mengen. Der Fachbegriff dafür ist „Kardinalzahlen“. In dem Sinn ist „1 hoch unendlich“ gleich 1, „2 hoch unendlich“ ist unendlich, aber eine „größere Art“ von unendlich als das im Exponent. Aber „3 hoch unendlich“ ist das selbe wie „2 hoch unendlich“.
@Daddy54
Es gibt allerdings auch Kritik an der Verliebtheit in die Eleganz der Mathematik, die möglicherweise auch die Physik selbst behindert. Also nicht die Kritik jetzt.
Ich habe z.B. mir vor zig Jahren das Buch „Das elegante Universum“ vom String-Theoretiker Brian Greene gekauft und mich zumindest streckenweise von seiner Faszination dieser Eleganz anstecken lassen – obwohl ich keine Ahnung davon habe :).
Trotzdem war da immer so ein komischer Hintergedanke im Kopf, als würde zu viel sich um die Eleganz drehen, als ginge es am Ende um gar nichts anderes mehr. Und das in der Physik, von der ich immer dachte, dass da Mathe nur Mittel zum Zweck wäre! Wie sollte es da erst in Mathe selbst aussehen?
Nun, Jahre später, spricht die Physikerin Sabine Hossenfelder dazu klare Worte:
https://www.youtube.com/watch?v=99hVAu1k6G8
@Jan
„Aber “3 hoch unendlich” ist das selbe wie “2 hoch unendlich”.“
Der Gedanke ist auch mir durch den Kopf geschossen. 😉
K.H.
Da stimmt doch was nicht.
eine Summe kann man in Summanden zerlegen.
also 6 = 2 + 2 + 2. In dieser Reihe kommt die 3 nicht vor.
ein Produkt kann man in Faktoren zerlegen.
3 x 3 x 3 = 27
Darin kommt die 2 nicht vor.
Eine PotenzPotenz (ich weiß nicht wie das heißt)kann man auch zerlegen
2 hoch 2 hoch 2 = 16 Darin kommt die 3 nicht vor.
3 hoch 3 hoch 3 = 243 Darin kommt die 2 nicht vor.
Also können 3 hoch unendlich nicht 2 hoch unendlich sein.
@Robert hwied
(Wieder mal) klare Themenverfehlung. Darum gehts nicht, sondern dass beide Beispiele in Mengen gleicher Mächtigkeit passen.
stone1,
die Mächtigkeit einer Menge entbindet dich nicht davor , über die Elemente der Menge nachzudenken. Zitat K-H.
„ist dasselbe“-
Meine Absicht ist nicht Definitionen von Kardinalzahlen zu wiederholen, und uns auszuruhen, sondern das „unendlich“ aufzudröseln und vielleicht sogar innerhalb der gleichen Kardinalzahl zu unterscheiden. K-H ist ein scharfer Denker, den muss man nur ein wenig kitzeln. Übrigens, der Schneemann (OT) war nicht der Tomone, es war nur ein Pappkamerad.
@hwied(#36):
Danke dass du direkt ein Beispiel für
lieferst.
@hwied
Ach Robert,
war mir genauso klar wie es dir vielleicht klar sein sollte, dass
das eher OT ist, abgesehen von der ziemlich zweifelhaften Sinnhaftigkeit dieser deiner Absicht.
stone1
Sinnhaftigkeit, sehr gut, es wäre gut, wenn man wüsste, wer die Mitkommentatoren sind und was deren Ziel ist.
der Begriff der „Unendlichkeit“ kam hier auf den Tisch, die Mengenlehre mit den Kardinalzahlen, und deine Leseempfehlung.
#36 war für K.H. bestimmt, nicht für dich. Ich habe noch Mengenlehre unterrichtet und der Begriff der Unendlichkeit, die Abzählungsverfahren, diese Begriffe sind zwar spannend spielen aber praktisch keine Rolle.
Cantor hat mit seiner Definition eine einfache Lösung gefunden und alle haben es nachgebetet. Was du als OT bezeichnest, da fängt bei mir erst das Denken an.
Jetzt fehlt nur noch Hilberts Hotel.
Damit belasse ich es einmal.
Unendlicher als unendlich 🙂
https://www.scinexx.de/news/technik/mathematik-unendlicher-als-unendlich/
@hwied
Das spielt doch überhaupt keine Rolle. Hier geht es darum, wie man Leuten die Angst vor Mathe nehmen oder vielleicht sogar sowas wie Begeisterung für die faszinierenden Dinge, die man damit machen kann, zu fördern. Und Mengenlehre kann zwar an sich schon sehr praktisch sein, aber richtig spannend wirds eben erst, wenn eben so Sachen wie Hilberts Hotel ins Spiel kommen. Wenn du sagst, Cantors ‚einfache Lösung‘ hätten alle anderen ’nachgebetet‘ klingt das zwischen den Worten für mich sowohl nach Ignoranz als auch nach einer gewissen Überheblichkeit. Und Sprüche wie dieser haben dir hier wohl auch den Ruf als Musterbeispiel eines schlechten Lehrers eingebracht.
Damit belasse ich es auch mal.
Puuh, da hab ich ja was losgetreten… Also
@Jan #33 … meine Zweifel wachsen wieder: „es gibt in der Mathematik einen Unendlichkeitsbegriff, bei dem es sinnvoll ist, von unterschiedlich großen Unendlichkeiten zu sprechen“. MEIN Empfinden ist: Unendlich ist gleich Unendlich. Ob ich 1+2+3+4+5… zähle bis ich nicht mehr weiterkomme, oder 10 hoch 1+10²+10³+… oder was es sonst noch geben mag, entweder höre ich nie auf zu zählen, oder es gibt einen Punkt an dem es nicht mehr weiter geht, an dem es ein Ende gibt. Aber: da gibt es ja den Link in #42 den ich noch nicht ganz gesehen habe, mal sehen was das bringt.
@Adam #34 die … Verliebtheit in die Eleganz der Mathematik … Das ist das, was ich in meinen Posts weiter oben meine. In einem anderen Beitrag habe ich gelesen, dass es eine Meinung in der Wissenschaft gibt, das eine „schöne“, „elegante“ Formel korrekt sein muss … was aber, siehe wieder #34. „ die möglicherweise auch die Physik selbst behindert“. (Den Film habe ich noch nicht angesehen, wird aber mit Sicherheit bald geschehen).
@PDP10 #17 und #31 nachdem ich mir jetzt alles mind. noch 2x durchgelesen habe, komme ich immer mehr zu der Überzeugung, dass man mathematische Formeln nicht mit Sprachen und Alphabeten vergleichen kann und darf (betrifft auch mich selbst). Ich kann die Grundbegriffe von chinesisch lernen um in dem Land nicht zu verhungern, oder ich studiere das die Sprache um dort zu leben und zu arbeiten. Die Mathematik (nicht das rechnen in der Unterstufe) ist aber so abstrakt das ich das nicht lerne „Just for Fun“ sondern weil ich damit Probleme lösen und Geld verdienen will / muss, oder umgekehrt oder ….. ich weiß nicht.
Wenn ich mir jetzt als wirklicher, absoluter Laie auf dem Gebiet die Diskussion hier unter dem Beitrag von Florian Freistetter ansehe, fällt mir noch eine Weisheit ein die wirklich ein Fünkchen Wahrheit in sich tragen könnte: „Stelle 3 Wissenschaftlern 1 Frage, so wirst du mind. 4 Antworten erhalten“.
Ich danke allen hier im Blog, dass sie sich auch mit einem Laien und einer absoluten Niete wie mir bei dem Thema so intensiv beschäftigt haben. Offensichtlich hat die Wissenschaft den Bezug zum „einfachen Volk“ doch noch nicht ganz verloren.
Liebe Grüße aus dem schönen Rheinland und bis zum nächsten, auch für mich interessanten Thema hier in den ScienceBlogs.
Rolf
@Daddy54:
Du scheinst dir „unendlich“ als einen Prozess vorzustellen. In der Mathematik ist das aber nicht so; jedenfalls nicht notwendigerweise (wie gesagt kann „unendlich“ unterschiedliche Dinge bezeichnen).
Der Stone 1
weißt du warum viele Männer ein Bier dem Wein vorziehen ? Weil es schäumt.
Eine Diskussion muss auch schäumen, damit die Argumente auf den Tisch kommen.
Ich bin mit deinen Argumenten voll einverstanden, Mathematik soll Spaß machen und sie soll einen praktischen Nutzen haben, unsere Lebenszeit ist ja nicht unbegrenzt.
Jetzt zur Mengenlehre.
Ich habe es sehr bedauert , dass man die Mengenlehre aus dem Lehrplan gestrichen hat, nicht wegen der Unendlichkeit, sondern wegen den Venn Diagrammen, der Aussagenlogik und der Schaltalgebra.
Erst mit Logikfunktionen lassen sich elektronische Schaltungen, insbesondere Logikschaltungen planen und verwirklichen.
Als man in Deutschland die Mengenlehre in den Schulen abgeschafft hat, hat man sich die Zukunft verbaut. Und tatsächlich haben Firmen wie Philips, Siemens, Telefunken, Valvo ihre Halbleiterproduktion eingestellt, weil der Nachwuchs gefehlt hat. Wir waren einmal führend im Bau von Elektronenröhren und bei der Entwicklung von elektronischen Schaltungen.
Das ist die praktische Seite.
Nachtrag: Wenn man jemandem Überheblichkeit unterstellt ist man selbst nicht frei von ihr.
@hwied
Das habe ich nicht unterstellt sondern zwischen deinen Zeilen gelesen, wenn es nicht so gemeint war, hab ich mich halt verlesen, sorry.
Aber ist Mengenlehre ernsthaft nicht mehr im deutschen Pflichtschul-Mathe-Lehrplan? Kann doch nicht sein, oder?
stone,
Ganz sicher gibt es die Mengenlehre nicht mehr in Baden Württemberg und seit 2010 nicht mehr in der Schweiz. https://www.nzz.ch/adieu_mengenlehre-1.8293063
Bei den Bundesländern habe ich recherchiert und nichts Aussagekräftiges gefunden.
Es gibt noch die Baukästen für die Sprachschulung in Kindergärten.
Kultusminister/innen sind halt immer noch die Underdogs in der politischen Hierarchie. Wenn der Finanzminister dem Kultusminister kein Geld gibt, dann ist der nur noch eine leere Menge.
Ist die Mengenlehre an den Grundschulen oder an den weiterführenden Schulen gemeint? Erstere ist bedauerlicherweise wohl wirklich flächendeckend abgeschafft worden. Soweit ich weiß, haben sich die Eltern fürchterlich darüber aufgeregt, was ihre Kleinen „für einen Quatsch“ lernen müssten, und am Ende hat die Politik nachgegeben. Mathematikunterricht, den es ja erst ab Klasse 5 oder so gibt, kommt natürlich nicht ohne Mengenlehre aus.
@Captain E.
Also ich hab Pflichtschule gemeint, bis 15 Jahre. Ich weiß ja nicht genau, wie das in D organisiert ist, meinst Du mit weiterführenden Schulen welche ab ~11 oder ab ~15?
@stone1:
Ich glaube, das ist selbst in Deutschland nicht ganz einheitlich. Schule ist Ländersache! Ich kenne das persönlich so, dass man mit circa sechs eingeschult wird, dann vier Jahre in eine Grundschule geht und dann auf eine von mehreren weiterführenden Schulen wechselt, wo man dann so zwischen sechs und neun Jahren bleibt.
An der Grundschule gab es jedenfalls gar keine Mathematik, sondern stattdessen Rechnen. Zu meiner Zeit war da auch noch Mengenlehre mit Schablonen und jede Menge Plättchen dabei, aber die Eltern waren nicht allzu begeistert und haben auf die Abschaffung gedrungen.
@Captain E.
Okay, jetzt verstehe ich. Wir hatten auch in der Grundschule diese geometrischen Plättchen für Mengenlehre, und die sind nach wie vor in Verwendung.
Mein Neffe und die Nichten hatten das auch in der Grundschule, wenn ich mich richtig erinnere. Könnte aber auch schon 1. Klasse Gym gewesen sein, müsste ich beim nächsten Besuch noch mal nachfragen.
@Captain E.
Antwort an dich ist – warum auch immer – im Spamfilter hängen geblieben.
Dem Lehrer steht es frei, ob er Teile der Mengenlehre unterrichtet oder nicht. Der Lehrplan muss nur eingehalten werden, was der Lehrer zusätzlich macht ist ihm freigestellt.
In Baden Württemberg kommt das Wort M. nicht mehr vor. Ich persönlich habe auf die Mengenlehre verzichtet, weil sie auch im Mathebuch nicht mehr aufgeführt war.
Verzichten, was kann man weglassen ? Ganz real ist der Lehrplan vollständig nicht zu schaffen. Rein zeitlich nicht und man kann sich beim Niveau und der Schnelligkeit nicht nur an den Guten orientieren, die weniger Begabten haben auch ein Recht auf Lernen.
Das war und ist auch von jeder Jahrgangsstufe ganz unterschiedlich. Ich habe lieber ganze Themen weggelassen und dafür ein anderes thema ausführlich behandelt. Bei den Prüfungsaufgaben , es waren meistens 8 Aufgaben, durfte der Klassenlehrer 2 Aufgaben streichen, die Schüler durften jeder für sich unterschiedlich 2 Aufgaben streichen, so dass am Ende 4 Aufgaben bearbeitet werden mussten. Das war ein guter Kompromiss .
> #53 hwied, 10. Juni 2021
> Dem Lehrer steht es frei, ob er Teile der Mengenlehre unterrichtet oder nicht
Die Qualitität der Lehrerausbildung ist so bescheiden wie die Qualität des Schulunterrichts. Die Suche https://www.google.com/search?q=richard+feynman+set+theory findet
Richard Feynman on Teaching Math to Kids and the Lessons of Knowledge
https://fs.blog/2016/07/richard-feynman-teaching-math-kids/
In den Siebzigern habe ich mehrere Jahre lang zur Ausbildung von Lehramtskandidaten der Physik beigetragen. Zugenommen hat seither der Umfang des Stoffs. Abgenommen hat das Verstehen.
Bei Fuckwits („It’s a sad fact of life and the Internet that this site is so very badly needed.“) heißt es:
„We have gone from a world of concentrated knowledge and wisdom to one of distributed ignorance. And we know and understand less while being increasingly capable.“ Prof. Peter Cochrane, formerly of BT Labs (petercochrane.com)
Das Wissen der Welt ist nicht mehr im Besitz weniger, sondern für jeden zugänglich, allerdings in stark verdünnter Form. Es muss halt angereichert werden. Das tut keiner gern und in der Schule lernt man die dazu erforderliche Technik auch nicht.
Karl Mistelberger,
es ist richtig, der Wert der Bildung ist im Sinken. Und niemand kann das aufhalten.
Fängt man bei der Lehrerausbildung an, es fehlen die Dozenten. Und wenn die Kultusministerkonferenz Besserung verspricht, dann bleibt es bei dem versprechen, denn die Finanzminister wollen sparen, Bildung lässt sich nicht in einer Werteskala festmachen.
Um das Rad wieder rückwärts drehen zu können, müssen die Lehrberufe auch finanziell attrrakaktiver gestaltet werden.
Dazu fehlt in unserem Staat der Wille und die Einsicht. Im Vergleich zu den USA stehen wir noch gut da. Unser Sohn war zweimal bei einem Schüleraustausch in den Staaten und fand das Bildungsniveau katastrophal.
> Um das Rad wieder rückwärts drehen zu können, müssen die Lehrberufe auch finanziell atraktiver gestaltet werden.
Das Rad zurückdrehen bringt nichts. Keiner will zu den alten Verhältnissen zurück. Mehr Geld hilft. Doch ohne Kontrolle verschwindet es in einem Schwarzen Loch.
Als ich 1983 nach Erlangen kam gab es im Postamt im Stadtteil fünf besetzte Schalter mit langen Schlangen davor. Heute hat sich die Bevölkerung verdoppelt. Das Postamt wurde durch die Post Filialen 505 und 738 ersetzt. Die beiden Dienstleister sind mittlerweile sehr kundenorientiert. Wenn ich die Testschuhe eines globalen Players zurückschicke dauert es in der Regel 2 Sekunden, bis der Aufkleber eingescannt und die Bestätigung ausgedruckt ist.
Gestern fand ein Härtefall ein befriedigendes Ende. Die Testleiterin hat ein Neue, die offensichtlich noch lernt. Die hatte vergessen, den Testschuhen einen Adressaufkleber beizulegen. Ich habe über Email moniert, es kam die prompte Antwort von der Neuen: Morgen ist er da. Nach einer Woche war immer noch nichts da und ich habe geantwortet: ‚Bist du sicher? Nach einer Woche ist noch immer nichts da.‘ Eine Stunde später kam Mail von der Testleiterin, im Anhang ein eingescannter Aufkleber, offensichtlich total zerknüllt und wieder glattgestrichen. Ich habe ihn ausgedruckt, aufgeklebt und bin mit dem Paket bei der Poststelle vorbei gelaufen. Dort war ein altes Mütterchen als Vertretung da. Es guckte etwas skeptisch, scannte und ich fragte: ‚Macht er’s‘? Sie antwortete: ‚Ja, man sollte es nicht meinen!‘ Nach 2 Sekunden wünschte ich einen schöne Tag und war auf dem Weg zum Biergarten.
Das hat Jahrzehnte gedauert, bis es endlich so weit war. Harald Lesch sagte ja im Video: Wir brauchen keine Kompetenten, sondern Leute die etwas können. Ob es bei den Verwaltungen und Schulen jemals klappen wird ist ungewiss.
> Unser Sohn war zweimal bei einem Schüleraustausch in den Staaten und fand das Bildungsniveau katastrophal.
Linus Torvalds sagte unlängst:
It’s been interesting. The US is home these days, and yes, I miss some parts of Finland. The US education system is a disaster. You have to move to the right area to get a good grade school or highschool, and you have to pay insane amounts of money for a good college. It’s a disgrace. So is the healthcare system.
https://www.tag1consulting.com/blog/interview-linus-torvalds-open-source-and-beyond-part-2
Pauschalaussagen treffen fast nie zu. Gute Ausbildung kostet aber. Das Gesundheitswesen ist das teuerste der Welt bei ziemlich mäßiger Effektivität.
@hwied
Ich vermute, dass du aus der Aufgabenmenge jene Elemente gestrichen hast, bei der es um Mengenlehre geht. Es wäre doch hochnot peinlich, wenn durch ein Missgeschick eine Mengenlehreaufgabe gezogen würde, bei der sowohl Schüler als auch Lehrer durch Nichtwissen glänzen. 😉
@hwied & @Captain E.
So, hab grad mit meiner Schwester geredet, in Ö kommt elementare Mengenlehre schon im Kindergarten vor und ist Teil der Schulreife. Mengenlehre (mit Plättchen) wird in der Volksschule unterrichtet.
Verstehe nicht, wie das in D von manchen (Landes)-Lehrplänen für die Grundschule genommen werden konnte.
FF macht wohl Urlaub, eine Antwort von mir @#51 ist immer noch nicht aufgetaucht.
Ich habe auf @#55 geantwortet. Die wartet ebenfalls auf Freischaltung.
Apropos: Im richtigen Leben sieht es auch nicht besser aus als in der Schule:
Dauerbaustelle Digitalisierung in Deutschland | c’t uplink 38.3
Egal ob Impfnachweis, Schul-IT oder öffentliche Verwaltung: Wenn es an die Digitalisierung unserer Infrastrukturen geht, scheint der Wurm drin zu sein.
https://www.heise.de/news/Dauerbaustelle-Digitalisierung-in-Deutschland-c-t-uplink-38-3-6046704.html
@stone1:
Nun, wie ich schon erwähnt hatte, gab es da wohl heftige Gegenwehr der Eltern. Viel zu viele Väter und Mütter haben Mengenlehre in der Grundschule als Folter für die armen Kleinen empfunden.
Ich meine dagegen, dass man das Thema gar nicht besser ans Kind herantragen kann. Später braucht man die Mengenlehre ja schließlich sowieso.
@stone: „Aber ist Mengenlehre ernsthaft nicht mehr im deutschen Pflichtschul-Mathe-Lehrplan? Kann doch nicht sein, oder?“
Ich habe nicht geantwortet, weil ich als Nicht-Lehrer darüber nicht Bescheid weiß…
@Karl Mistelberger:
Das US-Gesundheitssystem überzeugt nicht einmal jene, die den Goldstandard locker aus eigener Tasche bezahlt bekommen. George Clooney hat sich auch schon einmal als Privatpatient in ein deutsches Krankenhaus begeben.
Was die Bildung angeht, so gibt es da die regelmäßig veröffentlichten Berichte der OECD. Obwohl seit fast zwanzig Jahren der zuständige Direktor der Deutsche Andreas Schleicher ist, schneidet Deutschland regelmäßig eher schlecht ab. Kritikpunkte waren zumeist: Zu wenige Studenten und zu viele „Bildungsabsteiger“. Das soll sich zwar zuletzt gebessert haben, ist und war aber trotzdem zu einem Gutteil Quatsch. Meine Vermutung ist, dass viel zu viele US-amerikanische, britische und kanadische Mitarbeiter an diesen Studien gearbeitet haben, und dass Schleicher, der in jungen Jahren die Regelschule verlassen und auf eine Waldorfschule wechseln musste, sein Mütchen am deutschen Bildungssystem kühlen möchte. (Mittlerweile gibt es aber selbst aus den USA Kritik an den von ihm verantworteten PISA-Tests.)
Ok, und was für ein Quatsch stand da immer drin? In angelsächsischen Ländern wechselt man irgendwann von einer „Junior High School“ zur „High School“ und ist da kein Schüler (= pupil) mehr, sondern ein Student. Das tut man ungefähr in einem Alter, in dem an in Deutschland von der Sekundarstufe I in die Sekundarstufe II wechselt. Bei uns nennt diese Jugendlichen aber niemand „Student“. Auch die deutschen Schüler, die mit der Mittleren Reife oder dem Hauptschulabschluss die Schule verlassen, könnte man nach angelsächsischem Vorbild als „students“ bezeichnen, da die meisten dann ja eine betriebliche Ausbildung beginnen, Berufsschule inklusive. Diese Ausbildung wurde von der OECD aber eher negativ bewertet.
Und daraus rührt auch zum Teil die Sache mit dem „Bildungsabstieg“. Hat etwa ein studierter Informatiker ein Kind, das Optiker werden möchte, versteht die OECD das in Deutschland als Abstieg, weil dieser Beruf kein Studium voraussetzt. In USA „studiert“ man dagegen auf Optiker, also wird das nicht als Abstieg wahrgenommen.
Da fällt mir der Bericht über die berufliche Ausbildung im VW-Werk Chattanooga. Da das Management unzufrieden war über den Ausbildungsstand des US-Arbeitsmarktes, hat es die deutsche Ausbildung kopiert. Die jungen Amerikaner, die bei VW anfangen wollten, waren schlichtweg fassungslos, was die blöden Deutschen von ihnen verlangt haben. Indes haben diejenigen, die sich darauf eingelassen haben, ihre Meinung geändert, als sie den Wert dieser Ausbildung erst einmal erkannt haben.
Captain E,
Betreff Pisa-Test
wir hatten beim Pisa-Test mitgewirkt und ausgewertet.
Urteil: Der Test war sprachlich basiert, und da wir 70 % Migranten hatten mit Sprachdefiziten, waren die Ergebnisse nur beschränkt aussagekräftig. Dass Deutschland nur einen mittleren Platz belegte, war also so gesehen ein gutes Ergebnis.
Karl Mistelberger
Das Positive an dem Bildungssystem in den Staaten ist, dass die Sachbücher sehr verständlich geschrieben sind. Besser als in Deutsch. Ausnahme das Jahrbuch des Max-Plank-Instituts von 2000, das in verständlichem Deutsch verfasst ist.
@hwied:
Die Aussagekraft der PISA-Tests steht auch dahin.
Die Frage wäre doch aber: Steht ein Land besser da, wenn es ältere Teenager als „Studenten“ bezeichnet und nicht als „Schüler“?
Nachtrag:
https://remarkable-people.simplecast.com/episodes/jo-boaler-math-evangelist-author-and-stanford-professor
„Listen in as Guy Kawasaki interviews Jo Boaler, math evangelist, respected researcher, and Stanford Professor. Jo believes our current methods for math instruction are broken and is on a mission to get rid of timed mathematics and rote memorization. She is a leading voice for a wholly different pedagogy where speed is out, depth is in, and the journey to an answer can be as important as the destination. Learn how she fought back against academic bullying from male colleagues and won. Jo Boaler is the author of Limitless Mind: Learn, Lead, and Live Without Barriers. Another fantastic episode of Guy Kawasaki’s Remarkable People podcast!“
Empfehlung!
@Florian Freistetter
Die Frage ging @hwied, weil der das Thema aufgebracht hatte. Eine Antwort von mir @Captain E. war nicht durchgekommen, aber ich glaube das ist der jetzige Kommentar #55, also alles gut.
Captain E,
Der unterschiedliche Sprachgebrauch erschwert einen Vergleich. Nach meiner Meinung war Pisa ein riesen Werbespektakel, das die Bildungspolitik nur verunsichert hat.
Wie ich gehört hatte, wurde in vielen Schulen nur für die Pisa Studie gepaukt. Dabei ist ein systematisches Lernen auf Dauer die effektivste Methode.
Falk
Das Lernen in der Grundschule hat sich schon verändert, Weg vom auswendig Pauken hin zu tieferen Einsichten. Sogar bei den Arbeitsblättern für das zweite Schuljahr mussten meine Tochter und ich überlegen, was denn da gefragt wurde. Ganz automatisch kann man die Aufgaben nicht auf die Schnelle lösen.
Der Nachteil wird sein, dass die „schwächeren“ Schüler ohne Hausaufgabenbetreuung nicht mehr durchkommen.
Darf ich mich nochmal einschalten, ich hoffe dass ich nicht zu sehr nerve.
Es geht immer noch um mein Problem mit der Verständlichkeit der Mathematik.
Im Online-Newsletter von spektrum.de habe ich folgendes Rätsel gefunden das dieses „Problem“ von der Unendlichkeit auf 2 Würfel reduziert.:
——————————————
Hemmes mathematische Rätsel
(hier ist im Original ein Bild von 2 unterschiedlich großen, nebeneinanderliegenden Würfeln und der Angabe der Gesamtbreite der beiden Würfel. Das Bild kann ich hier nicht einkopieren)
Zwei Würfel liegen nebeneinander so auf dem Tisch. Sie haben zusammen eine Breite von 8 cm (√) und zusammen einen Rauminhalt von 200 cm³ (√) Wie groß ist die gesamte Grundfläche, mit der die beiden Würfel auf der Tischplatte liegen?
— Lösung —
Haben die beiden Würfel die Kantenlängen a und b, so haben sie eine Gesamtbreite von a + b = 8 (√) und ein Gesamtvolumen von a³ + b³ = 200 (√). Sie decken zusammen eine Grundfläche von a² + b² (√) ab. ( Bis hierhin habe ich es noch verstanden) Natürlich könnte man aus den ersten beiden Gleichungen a und b ermitteln. Doch dabei erhält man hässliche Wurzeln und irrationale Längen.
Ab jetzt kommen die vielen ? (eingefügter Satz von mir)
Diese kann man aber leicht vermeiden, da (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) ist. ( ? ) Setzt man in diese Gleichung a³ + b³ = 200 (√) und a + b = 8 (√) ein, vereinfacht sie sich zu 8³ = 200 + 3ab · 8, was sich zu ab = 13 umformen lässt. (wie und wieso?) Nun ist aber (a + b)²= a² + 2ab + b² = a² + b² + 2ab, (?) was mit a + b = 8 und ab = 13 zu 8² = a² + b² + 2 · 13 führt. (wieso?) Diese Gleichung kann man zur gesuchten Lösung a² + b² = 38 (wie?) umformen. Die gemeinsame Grundfläche der beiden Würfel beträgt somit 38 cm² (wenn der Herr Hemme, Physiker und Prof. an der TH Aachen, das so sagt, muss es wohl stimmen ?? Interessant dass auch er von „hässlichen“ Wurzeln spricht).
(Hinweis: die „Wurzelzeichen“ √ sollen ein Häckchen (ja, ok) bedeuten. Das was in Klammern steht sind die Fragezeichen von mir. Zu finden ist das Rätsel im Newsletter vom 11.6. von spektrum.de)
————————————————————
Die Diskutanten hier im Blog scheinen ja alle Fachleute zu sein. Spektrum ist eine sehr interessante Zeitschrift, auch der Newsletter immer lesenswert. Aber bei solchen Problemen, bzw deren Lösungen frage ich mich immer wieder ob ich nicht doch besser bei „HörZu“, „Gala“ und „Bild“ bleibe. Es liegt also nicht nur bei den Unendlichkeiten.
So, genug genervt.
Danke für Eure Geduld und vielleicht ein wiedersehen bei einem neuen, anderen Thema
Grüße aus dem schönen Rheinland
Rolf
@Daddy54:
Da müssen wir das Ganze wohl noch einmal auseinander klamüsern! Auf geht’s!
Zwei Würfel A und B mit den Kantenlängen a und b liegen auf einem Tisch und bedecken eine Gesamtfläche F. Diese berechnet sich wie folgt:
F = a² + b²
Bekannt sind folgende Daten: Die Gesamtbreite K beider Würfel beträgt 8, also
K = a + b = 8
Zudem beträgt das Gesamtvolumen V beider Würfel 200, somit
V = a³ + b³ = 200
Bis hierher sind das alles nur Voraussetzungen. Gesucht sind nun die Kantenlängen a und B und natürlich auch die Fläche F. Der Ansatz ergibt sich, indem man einfach mal etwas ausrechnet, und zwar (a + b)³. Das ist mathematisch kein Problem (man multipliziert halt alle Terme!), gilt unabhängig von der Aufgabenstellung und führt zu folgendem Resultat:
(a + b)³ = (a + b) (a + b) (a + b)
= (a² + ab + ab + b²) (a + b)
= (a² + 2ab + b²) (a + b)
= a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
= a³ + b³ + 3ab a + 3ab b
= a³ + b³ + 3ab (a + b)
So, und nun arbeiten wir also mit der Gleichung
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b)
weiter und fangen an, die bekannten Zusammenhänge einzusetzen. Daraus ergibt sich wegen
K = a + b = 8
und
V = a³ + b³ = 200
folgendes:
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b)
K³ = V + 3ab * K
8³ = 200 + 3ab * 8
512 = 200 + 24ab
312 = 24ab
13 = ab
Und damit haben wir es beinahe. Wir müssen jetzt nur noch diese Resultate geschickt einsetzen. Wir wiederholen die Multiplikation, die wir oben schon einmal als Zwischenergebnis gehabt haben:
(a + b)² = (a + b) (a + b)
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²
Also, noch einmal, dies ist das Ergebnis (und entspricht der ersten binomischen Formel):
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Wir setzen jetzt zwei Dinge ein, nämlich
K = a + b = 8
und
13 = ab
Und damit geschieht folgendes:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
8² = a² + 2 * 13 + b²
64 = a² + b² + 26
38 = a² + b²
Nun ist aber
F = a² + b² = 38
Somit hätten wir also als Ergebnis, dass die Gesamtfläche F tatsächlich 38 beträgt.
@Daddy54:
Der Vollständigkeit halber schauen wir uns noch die Kantenlängen a und b an. Achtung: Jetzt tauchen Wurzeln auf!
K = a + b = 8
13 = ab
Daraus ergibt sich
b = 8 – a
und somit
13 = a (8 – a)
8a – a² = 13
a² – 8a = – 13
a² – 8a + 16 = – 13 + 16
(a – 4)² = 3
a – 4 = +-√3
a = 4 +-√3
Oder eben a ≈ 5,73 oder a ≈ 2,27, und somit
b = 8 – a
8 – 4 -+√3
4 -+√3
Was heißt das? Die Kantenlängen a und b ergeben sich letztlich beide als die zwei Lösungen der quadratischen Gleichung, nur eben alternierend. Es lässt sich daher nicht genau sagen, welcher der beiden Würfel A und B der größere ist.
Zur Gegenprobe nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass A größer sei:
K = a + b = 8
==> 8 = a + b
8 = (4 + √3) + (4 – √3)
8 = 4 + 4 + √3 – √3
Passt!
V = a³ + b³ = 200
==> 200 = (4 + √3)³ + (4 – √3)³
200 = (4 + √3) (4 + √3) (4 + √3) + (4 – √3) (4 – √3) (4 – √3)
200 = (16 + 8 √3 + 3) (4 + √3) + (16 – 8 √3 + 3) (4 – √3)
200 = (19 + 8 √3) (4 + √3) + (19 – 8 √3) (4 – √3)
200 = (76 + 32 * √3 + 19 * √3 + 8 * 3) + (76 – 32 √3 – 19 √3 + 8 * 3)
200 = (100 + 51 * √3) + (100 – 51 √3)
200 = (100 + 100) + (27 √3 – 27 √3)
Passt auch!
Soweit dann also alles klar?
Die Äquivalenzpfeile, die das Portal gefressen hat, müsst ihr euch an vielen Stellen hinzudenken…
Hallo Captain E.
1. wieviele Stunden hast Du an der Arbeit gesessen?
2. wird es Dich wundern, wenn ich sage dass ich es zu einem großen Teil nicht verstanden habe?
Ich vermute, dass eine solche Aufgabe heute von jede Oberstufenschüler*in problemlos gelöst werden kann.
Wie schon in meinem 1. Post (#16) geschrieben, bin ich jetzt 66 und habe seit 50 Jahren nichts mehr mit irgendwelchen Formeln zu tun gehabt. Insofern ist es schwierig mich da irgendwie hinenzudenken. Es ist faszinierend wie Du oder andere Mathematike, Physiker oder andere Wissenschaftler damit umgehen (ist doch alles ganz easy): für mich ist es frustrierend dass ich es nicht kann (niemals gelernt habe).
Beispiel:
8³ = 200 + 3ab * 8
512 = 200 + 24ab
312 = 24ab
13 = ab
ab heißt : a+b oder a*b oder ?
2. Zeile in dem Beispiel: 512 = 8³ (= 8*8*8)
24 = 3ab * 8 (=3*8)
3. Zeile wie kommt mann da auf die 312 ?
Klar, 512 – 200 = 312, aber warum werden die 200 von den 512 abgezogen?
4.Zeile 13=ab auch klar, 312 / 24 = 13, aber warum teile ich die 312 durch 24?
Weiter:
K = a + b = 8
13 = ab
…………..
Daraus ergibt sich
b = 8 – a
a² – 8a + 16 = – 13 + 16
K = a + b = 8 ist klar
13 = ab haben wir oben gesehen, ist aber noch nicht klar.
b = 8 – a ist klar
aber wo kommt in der nächsten Zeile plötzlich die 16 her ???.
Captain E., Du haast das jetzt so toll aufgedröselt, ich habe es auch ausgedruckt und versuche mal das ganze in self learning zu verstehen, im Zweifel muss mein Junior nochmal daran glauben.
Vielen Dank nochmal und 2 Daumen hoch
Grüße aus dem schönen Rheinland
Rolf
@Daddy 54
… sei ein Operator
a b
a + b
a – b
a * b
a / b
a ^ b
a mod b
….
Mathematiker sind natürlich bestrebt sich kurz zu halten, wenn es die Eindeutigkeit erlaubt.
Deshalb schreibt man
ab bzw a b : = a * b
Oh, mein Operatorzeichen ein Kreis mit x ist verschwunden. 🙂
Oh mein Operatorzeichen ein Kreis mit Kreuz ist verschwunden. (lach)
@Daddy 54:
Das wirklich mühsame war, die Sachen einigermaßen in Form zu bringen. Handschriftlich wäre es recht fix gegangen.
Keine Ahnung. Dazu bin ich auch schon zu lange raus. Dass du die Herleitung nicht verstanden hast, tut mir leid. Ich wollte eigentlich alle Unklarheiten beseitigt haben.
Richtig, 3ab heißt nichts anderes als 3 multipliziert mit a multipliziert mit b. Der Stern bedeutet dasselbe, war aber zur Klarheit an dieser Stelle notwendig.
Genau!
Autsch, das sind leider die Basics. Stell es dir einmal so vor:
512 = 312 + 200
Klar, dass auf beiden Seiten das gleiche steht, oder? Und nun ziehst du auf beiden Seiten einfach 200 ab:
512 – 200 = 312 + 200 – 200
Bleibt:
312 = 312
Wenn man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens das gleiche addiert oder subtrahiert, gilt die Gleichheit nach wie vor. Mit Multiplikation und Division läuft es genau so.
Das gleiche wie zuvor, nur hier halt Division durch 24. Dann kürzt es sich auf der rechten Seite heraus und wir haben nur noch das „ab“ übrig.
Da hast du dich also an die Kontrollrechnung mit den Wurzeln gewagt? Nun ja, die 16 bringe ich einfach auf beiden Seiten ins Spiel, einfach weil ich sie brauche. Ich möchte links statt „a² – 8a“ „a² – 8a + 16“ stehen haben, also addiere ich die 16. Um die Gleichheit aufrecht zu erhalten, muss sie rechts natürlich auch mit drauf. Tja, und „a² – 8a + 16“ ist natürlich dasselbe wie „(a – 4)²“. Daraus eine Wurzel zu ziehen, ist aber ziemlich einfach.
Ja, soll der auch mal etwas für Kost und Logis tun, ggf. für die, die er über viele Jahre hat genießen dürfen! 😉
> #75 Captain E., 17. Juni 2021
> Die Äquivalenzpfeile, die das Portal gefressen hat, müsst ihr euch an vielen Stellen hinzudenken…
Das ‚Portal‘ frisst nichts sondern tut nur was es immer tut. Zweckmäßigerweise kodiert man den Text und fügt das Ergebnis ins Formular ein:
https://mothereff.in/html-entities