Seit einiger Zeit treibt sich ein Video durchs Internet. Es stammt von den eigentlich sehr guten Leuten vom Numberphile-Videoblog und erklärt, wie man die Summe aller natürlichen Zahlen berechnet. Also das Ergebnis von 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … Und überraschenderweise wird dort behauptet, dass Ergebnis dieser unendlichen Summe wäre gleich -1/12. Das klingt absurd. Wie kann eine unendliche Summe positiver ganzer Zahlen plötzlich negativ sein? Und natürlich ist es auch absurd. Die Summe aller natürlichen Zahlen ist nicht gleich -1/12.
Das Video selbst wurde mittlerweile schon über eine Million mal aufgerufen. Und als dann auch noch der prominente Wissenschaftsblogger Phil Plait darüber schrieb und das Ergebnis „most astonishing math“ nannte, waren sehr viele Leute davon überzeugt, dass diese Rechnung wirklich korrekt ist: Dass wir nicht intuitiv verstehen, warum die Summe aller natürlichen positiven Zahlen ein negativer Bruch ist, läge eben daran, dass wir die Unendlichkeit nicht intuitiv verstehen.
Die Unendlichkeit ist knifflig – aber trotzdem ist die Rechnung falsch. Das haben zum Beispiel der Mathematiker Mark Chu-Carroll in seinem Blog „Good Math, Bad Math“ oder auch Thilo Küssner vom „Mathblog“ ausführlich erklärt.
Um die Sache kurz zusammen zu fassen: Die Summe aller natürlichen Zahlen hat kein endliches Ergebnis und schon gar kein negatives. Es gibt kein Ergebnis im eigentlichen Sinn, denn diese unendliche Zahlenreihe ist divergent, das heißt sie wächst ständig weiter. Es gibt auch konvergente Reihen. Die Summe von 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … ist zum Beispiel nicht unendlich, sondern schlicht und einfach 2. Denn es gibt zwar unendlich viele Zahlen die hier aufsummiert werden; diese Zahlen werden aber auch immer kleiner und kleiner und jeder weitere Beitrag immer weniger relevant für das Endergebnis.
Aber die Reihe aller natürlichen Zahlen konvergiert nicht. Es gibt allerdings verschiedene mathematische Techniken, mit der man so einer Reihe einen bestimmten Wert zuweisen kann. Berechnet man zum Beispiel die sogenannte Ramanujan-Summe von 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … dann erhält man am Ende tatsächlich -1/12. Das ist aber eben nicht die eigentliche Summe aller natürlichen Zahlen. Die existiert nicht. Das wurde im Video von Numberphile leider nicht ausführlich erklärt und viele Leute haben sich von der Absurdität des Ergebnis einfach mitreißen lassen, ohne genauer darüber nachzudenken (unter anderem übrigens auch Spiegel Online).
Dabei ist die Unendlichkeit schon faszinierend genug! Da muss man nicht auch noch mit solchen komischen Geschichten Eindruck schinden. Zu diesem Thema ist gerade kürzlich erst ein sehr schönes animiertes Ted-Ed-Video veröffentlicht worden. Es demonstriert das klassische Beispiel von „Hilberts Hotel“ (aber auch wer das schon kennt sollte es sich trotzdem ansehen – die Sache mit den Primzahlen am Schluss kannte ich zum Beispiel noch nicht) und zeigt, dass die Unendlichkeit tatsächlich ziemlich komisch ist!
Es gibt noch ein anderes Beispiel, das zeigt, wie schwer der Unendlichkeitsbegriff zahlentheoretisch erfassbar ist. So kann man recht einfach zeigen, dass 1+10+100+1000+… = -1/9 ist:
x=1+10+100+1000+…
x=…..111111
9x=….999999
9x+1=0
x=-1/9
Das Problem liegt natürlich in der vierten Zeile. Eine Zahl, die aus unendlich vielen Neuen besteht, wird nicht zu Null, man an eins addiert, obwohl diese Addition formal-mathematisch richtig ist.
Hallo Florian,
danke für den Artikel, war auch lange damit beschäftigt auf Facebook das Video und seine Unsinnigkeit zu kommentieren und dass man mit Umordnungen von nicht absolut konvergenten Reihen eben so einigen Blödsinn machen kann. Nun brauch ich nur hier her verlinken 😉
Gruß & Dank
Gono.
Noch ein schöner Lese-Tipp zum Thema Unendlichkeit in einem Science Fiction Roman: „Weißes Licht“ von Rudy Rucker. Darin kommt auch Hilberts Hotel vor, sowie das weicheste Gras (weil sich die Grashalme unendlich oft verzweigen).
Schöner Beitrag. Danke dafür. 🙂
Ich weiß nicht ob Dus mitbekommen hast, aber mich hat das Video ja ebenfalls in den Wahnsinn getrieben, nicht zuletzt weil ich (wie wahrscheinlich Du und viele andere hier ;-)) als der Mathe-Go-To-Nerd meiner Bekanntschaft diene.
Mich frustrierte das Video und Plaits „Endorsement“ primär, weil es einen völlig unangemessenen und schlicht schädlichen mathematischen Mystizismus vermittelt, welcher die vielen Menschen die mit Mathematik sowieso schon Probleme haben in ihrem Glauben, sie sei unverständlich und mysteriös, noch bestärkt.
Lol, ihr nerds
@ schlappohr
Ab der zweiten Zeile ist es aber auch schon nicht mehr ganz koscher. Der Ausdruck „…..111111“ stellt ja schon keine legale Darstellung einer natürlichen Zahl dar. Das gleiche gilt für Zeile 3. Also streng genommen sind Zeile 2. , 3. und 4. mathematisch betrachtet unfug.
Darüber hinaus gibt es auch in den natürlichen Zahlen keine Zahlen mit unendlicher Darstellung. Sowas wie eine natürliche Zahl mit unendlich vielen 9en oder 1en gibt es nicht. Jede natürliche Zahl hat eine endliche Darstellung.
Ich bin kein Mathe-Experte, aber wenn ich all die Beiträge dazu lese, drängt sich mir der Verdacht auf, dass es eher ein kommunikatives Problem ist.
Es gibt offenbar mathematische Teilbereiche, in denen man so einer divergierenden Reihe einen Wert zuweisen kann. Es ist also nicht vollkommener Quatsch.
Und dann regen sich andere darüber auf, dass man dieses – durchaus erstaunliche – Ergebnis für Laien halbwegs verständlich machen wollte, indem man eigentlich nicht zulässige Rechenoperationen aus der herkömmlichen Mathematik anwendete, und dass dieses Ergebnis in dieser herkömmlichen Mathematik gar nicht entsteht.
Es geht aber doch darum, Laien die Augen für die Faszination der Mathematik zu öffnen. Zu behaupten, dass die Leute, die dabei zu diesen Tricks gegriffen haben, nicht intelligent wären oder zu blöd oder übertölpelt wurden oder keine Ahnung von Mathe hätten, ist da eine üble Unterstellung. Tatsache ist: Die korrekten Erklärungen versteht keiner, der nicht Mathe studiert hat. Damit würde man niemanden neugierig machen, der nicht schon neugierig ist. Und so erklärt sich auch, warum das Numberphile-Video so ist und nicht anders.
Vereinfachungen sind in der naturwissenschaftlichen Didaktik nichts Neues. Schülern wird im Chemieunterricht zuerst immer noch das Bohrsche Atommodell beigebracht. Das Orbitalmodell kommt später im Physikunterricht. Im Physikunterricht selbst lernt man zuerst Newtons Gravitationsgesetz und erst später Einsteins Relativitätstheorie. Wäre mir neu, dass sich darüber jemand aufregt.
Man kann sicherlich ankreiden, ob man nicht klarer hätte sagen können, dass man für dieses Ergebnis eigentlich eine andere Mathematik anwenden muss. Aber wer ruft, dass das Ergebnis grundsätzlich falsch wäre, der liegt offenbar auch nicht ganz richtig. Mark Chu-Carroll hat sich mit seinem Beitrag durchaus berechtigte Kritik (auch wegen seines Tonfalls) eingefangen.
@Christian: „Es gibt offenbar mathematische Teilbereiche, in denen man so einer divergierenden Reihe einen Wert zuweisen kann. Es ist also nicht vollkommener Quatsch.“
Ähm ja. Exakt das sage ich in meinem Artikel. Man kann so eine Summe einen Wert zu weisen. Aber dieser Wert ist dann eben NICHT das, was rauskommt, wenn man alle natürlichen Zahlen addiert.
„Es geht aber doch darum, Laien die Augen für die Faszination der Mathematik zu öffnen. Zu behaupten, dass die Leute, die dabei zu diesen Tricks gegriffen haben, nicht intelligent wären oder zu blöd oder übertölpelt wurden oder keine Ahnung von Mathe hätten, ist da eine üble Unterstellung. T“
Und wo hätte ich das jemandem unterstellt?
„Vereinfachungen sind in der naturwissenschaftlichen Didaktik nichts Neues. „
Natürlich. Aber wenn die Vereinfachung schlicht und einfach falsch ist, dann hilft sie nichts. Und es IST eben falsch zu behaupten, dass man einen negativen Bruch bekommt, wenn man alle positiven ganzen Zahlen addiert. Das ist ganz einfach falsch und wenn man das so kommuniziert ist damit niemandem geholfen.
Der Platz reicht leider nicht aus, um der Intoleranz und Unverständnis halbwegs verständlich zu begegnen.
@Florian: Empörung ist keine Argumentation
Ich finde das Problem interessant und instruktiv.
Beispiel: Die sogenannte Zahl 1/3 kann auch durch 2/6, 4/12 … repräsentiert werden. Man fasst diese Menge zu einer Klasse zusammen und gibt ihr den Namen 1/3. Das tut man, um bestimmte Operationen eindeutig zu machen. In der Algebra ist es durchaus üblich unterschiedliche Objekte zu Klassen zusammenzufassen
Die Behauptung, dass die Brüche 1/3 und 2/6 identisch sind, ist falsch, aus Sicht der Definition der rationaler Zahlen
„als Menge geordneter Zahlenpaare {x,y} mit y ugleich 0. {1,3} und {2,6} sind natürlich verschieden.
Ähnliches Beispiel: Der periodische Dezimalbruch
0.999999… wird mit der 1 zu Klasse zusammgefasst.
…
Es gibt den Begriff der Kardinalzahl, der im Prinzip die Mächtigkeit von Mengen beschreibt, für endliche Mengen die Anzahl der Elemente, für die natürlichen Zahlen z.B. eine abzählbare Unendlichkeit, für reelle Zahlen überabzählbare, sowie für deren Potenzmengen (Mengen aller Teilmengen). Mit diesen “ Unendlichkeiten“ kann man durchaus rechnen.
Lässt man sich oben gesagtes durch den Kopf gehen, erscheint es nicht von vornherein absurd, die Summe der natürlichen Zahlen (vielleicht irgendein Unendlich) und -1/12 zusammenzufassen. (?)
@Christian
Ich bin ein großer Fan anleitender Lügen-an-Kinder, wie das Stephan Baxter und Terry Pratchett so schön nennen, Aussagen die zwar falsch sind, aber grundsätzlich hilfreich um zunächst einmal Konzepte zu verstehen und einen der genaueren Lösung näher bringen. Das Video ist in meinen Augen aber keine solche, sondern ein in hohem Maße kontraproduktives Stück Flim-Flam.
In der gesamten Präsentation des Videos wird so getan, als wäre dies eben nicht ein auf atypische Weise präsentiertes partikuläres Ergebnis eines Unterbereichs der Mathematik, sondern das allgemeine „geheimnisvolle“ Ergebnis dieser Reihe; es wurde, auch von Phil Plait, mehr oder minder so präsentiert als wäre die Nicht-Konvergenz der Reihe die „Lüge“ und dieses Ergebnis die größere, mysteriöse Einsicht. Das ist allerdings völliger Unsinn. Man hätte dieses Ergebnis in einem auf Physik bezogenen Beitrag nutzen können um Leute dafür zu interessieren und zu faszinieren, aber in einem im Endeffekt zahlentheoretischen Beitrag war das in meinen Augen völlig unnütz und unnötig mystifizierend.
@Gast: „Der Platz reicht leider nicht aus, um der Intoleranz und Unverständnis halbwegs verständlich zu begegnen.“
?? Was war denn jetzt hier „intolerant“??
@Gast
Aber eine divergente Reihe bleibt eine divergente Reihe, auch wenn man sie anders hinschreibt. Schon die Behauptung, die Reihe 1-1+1-1… habe den Wert 1/2 ist Unsinn, die Reihe konvergiert nicht und somit kann man ihr keinen Grenzwert zuweisen. Damit bricht der Beweis schon zusammen.
Das heißt nicht, dass druch Umordnen von Reihen nicht auch mal eine vernünftige Rechnung gemacht werden kann. Ein analoges Beispiel:
Division durch 0 ist aus gutem Grunde unzulässig:
1/0 = unendlich = 2/0, folglich wäre 1=2.
Aber x/sin(x) kann an der Stelle x=0 durch 1 stetig differenzierbar fortgesetzt werden, die Grenzwerte von oben und unten (lim inf und lim sup) konvergieren beide gegen 1. Deswegen gibt es den schönen Satz von de L’Hopital, der genau festlegt, wann man das machen darf.
Thilo Küssner hat, wenn ich das richtig verstanden habe, gezeigt, dass für den hier behandelten „Beweis“ der zulässige Definitionsbereich verlassen wurde, und deswegen ist er einfach falsch.
Außerdem bin ich der Meinung, dass 1/3 und 2/6 sehr wohl identisch sind, weil sie den gleichen Punkt auf dem Zahlenstrahl beschreiben, es sind nur unterschiedliche Schreibweisen. Das gleiche gilt für 0,99999… = 3* 1/3 = 1. Periodische Zahlen sind eine Eigenheit der Zifferndarstellung und entstehen immer dann, wenn Brüche mit Primteilern dargestellt werden, die keine Teiler der Basis des Zahlensystems sind (also im Zehnersystem alle Primteiler außer 2 und 5).
Bin allerdings kein Mathematiker.
Ich habe beim Erscheinen des Minus-Zeichens bereits den Faden verloren: Unter natürlichen Zahlen habe ich immer die positiven Zahlen verstanden (laut Wikipedia kann auch die Null, also alle nicht-negativen Zahlen, dazu gezählt werden). Und Eine Addition ist nciht das geiche wie eine Subtraktion. Alos entweder addieren die hier nicht die natürlichen Zahlen, oder es ist keine Addition…
@Jürgen: „Alos entweder addieren die hier nicht die natürlichen Zahlen, oder es ist keine Addition…“
Was genau meinst du? Ob man jetzt 0+1+2+3+… oder 1+2+3+… rechnet ist ziemlich egal und so weit ich mich erinnern kann gibt es das Symbol „N“ für die natürlichen Zahlen und das Symbol „N0“ für die natürlichen Zahlen mit 0; „Standard“ dürfte also die Menge ohne 0 sein. Aber von welchem Minus-Zeichen sprichst du?
@Florian
Für Astronomen ist Kohlenstoff ein Metall und für Informatiker ist 0 eine natürliche Zahl. N0 verwenden wir nicht…
@ Florian
Einen festgelegten Standard ob die natürlichen Zahlen mit oder Null daherkommen, gibt es nicht. Das ist Geschmackssache und darf jeder so handhaben wie er will (man sollte es halt nur irgendwie kommunizieren). Die Leute die lieber die 0 dabei haben, schreiben dann gerne mal N+ oder sowas in der Art, wenn sie mal von den natürlichen Zahlen ohne 0 sprechen.
@ Jürgen
Das Addition nicht das gleiche wie eine Subtraktion ist, darüber könnte man sich streiten. Letzten Endes bezeichnet die Subtraktion auch nur die Addition mit einem additiven Inversen. So ist Subtraktion definiert.
@Florian #14:
Ich meine die „Summen“ S1 und S2, die in dem Video zur Beweisführung heran gezogen werden und ein zentrales Argument sind. Und da kann ich nicht verstehen, warum 1-1+1-1+1… und 1-2+3-4+… Summen natürlicher Zahlen sein sollen – den entweder ist das „-“ der Operator einer Subtraktion (dass Addition und Subtraktion nicht das Gleiche sind, darf ich doch annehmen), oder das Vorzeichen einer negativen Zahl. Aber in keinem Fall kann ich in S1 und S2 die Summe einer Reihe von natürlichen Zahlen entdecken.
Ic sage ja nicht, dass das alles Unsinn ist – aber so, wie es präsentiert wird, also als das schlichte Resultat einer Addition aller natürlichen (= nicht negativen) Zahlen, ist es nicht akzeptabel. Die Numberphiles hätten da schon klarer sagen müssen, was sie da tun, und welchen Bezug dieses Resultat zu ihrem prinzipiell simplen, arithmetischen Ausgangsproblem hat.
@Jürgen: “ Aber in keinem Fall kann ich in S1 und S2 die Summe einer Reihe von natürlichen Zahlen entdecken.“
Ja, das mag so sein. Aber darum gehts ja auch nicht. Das sind ja quasi nur Hilfs- bzw. Zwischenrechnungen. Das „1+2+3+…“ ist die Summe aller natürlichen Zahlen und um die zu berechnen kann man zwischendurch auch Summen von negativen Zahlen bilden. Aber es geht ja eben gerade darum, dass die Rechnung aus dem Video so nicht funktioniert und das alles NICHT die Summe aller natürlichen Zahlen ist.
@sim #16
Wie ich eben schon schrieb: Sicher kann man eine Subtraktion, also beispielsweise 1-1, auch als 1+(-1), also als eine Addition ausdrücken. Dann ist (-1) aber keine natürliche Zahl mehr, sondern eine negative Zahl. Und Brüche sind auch keine natürlichen Zahlen, denn zu dieser Gruppe gehören nunmal nur die nicht-negativen ganzen Zahlen.
@Florian: ich habe mit dem Hinweis, dass manche die 0 dazu zählen, manche nicht, nur sicher gehen wollen, dass sich niemand daran aufhängt, wenn ich nur von positiven Zahlen rede – im Resultat macht es bei einer Addition jedenfalls keinen Unterschied (bei einer Multiplikation aller natürlichen Zahlen wäre es allerdings relevant, ab man nun die Null einbezieht oder nicht – darum ist die Defintion nicht völlig trivial).
@ Jürgen
Ja dem Einwand kann man folgen und wenn man ganz korrekt ist, müsste man dann tatsächlich von einer Summe ganzer Zahlen sprechen. (Ich glaube allerdings nicht, dass das das wesentliche Problem dieses „Beweises“ ist)
@Florian Auf dich bezog ich mehr das empört.
Intolerant erscheinen mir die Gedankengänge einiger anderer Beiträge.
@Alderamin verwendet das Wort Unsinn, argumentativ ist das intolerant. Wenn ich eine Reihe umsortiere, ist das eine ANDERE Reihe, und das Result kann durchaus anders sein. Muss aber nicht, schließlich ist 4+7 dasgleiche wie 5+6
Ein Kriterium ist die sogenannte absolute Konvergenz.
1/0 ist ja wohl was offensichtlich anderes als 2/0, also ist der Schluss 1=2 unsinnig.
Dass Unendlich ist keine herkömmliche Zahl, sondern allenfalls eine Art Kardinalzahl ist, habe ich oben erwähnt.
Fazit: Manche Leute möchten mit aller Macht beweisen, dass 1+2+3+… nicht -1/12 sein kann, machen dabei aber logische Fehler.
@Gast: „Auf dich bezog ich mehr das empört. Intolerant erscheinen mir die Gedankengänge einiger anderer Beiträge.“
Nochmal: Wo bin ich „empört“? Und wo ist jemand anderes „intolerant“? Weißt du, diese Wörter haben eine Bedeutung. Und festzustellen, dass jemand irgendwo etwas falsches gesagt hat, ist nicht „intolerant“.
„Manche Leute möchten mit aller Macht beweisen, dass 1+2+3+… nicht -1/12 sein kann, machen dabei aber logische Fehler.“
Du meinst also, du wärst in der Lage mathematisch korrekt zu beweisen, dass die unendliche Summe aller natürlichen positiven Zahlen identisch mit einem negativen Bruch ist? Leg los, das würde ich gerne sehen!
Die Reihe 1+2+3+… ist divergent. Das ist eine Tatsache, an der kein noch so interessantes Internetvideo etwas ändert. Sie hat keinen endlichen Wert. Dass man manchen Summen endliche Wert zuweisen kann, habe ich ja erklärt. Das ist aber etwas ganz anderes und nicht die Summe aller natürlichen Zahlen. Das ist Mathematik. Und keine „Intoleranz“ (ernsthaft, schlag das Wort mal nach).
Hallo Gast,
soweit ich mich erinnere, sind Reihen immer noch Grenzwerte von Partialsummen und da für jede Partialsumme gilt, dass sie größer gleich Null ist, ist folglich auch ihr Grenzwert, also die Reihe, größer gleich Null.
Und da -1/12 das nun mal leider nicht ist, kann dort als Ergebnis eben nicht -1/12 herauskommen, auch wenn man gerne herausbekommen möchte.
Wo ist da der logische Fehler?
Gruß,
Gono.
@ FF und Alderamin
Auch das gibt es in der Mathematik: beide haben Recht.
In der BRD war N = {1, 2, 3,…} in der DDR war dagegen meistens N = {0, 1, 2, 3,…} . Nach der Wiedervereinigung hat sich nach DIN mal die DDR durchgesetzt.
Das Ganze ist ein Grundprolem: sind natürliche Zahl Kardinalzahlen, also Abzählzahlen, dann ist der Unterschied zwischen Null Hund und Null Katze schwierig, oder sind es Mächtigkeiten von Mengen, dann hat die leere Menge natürlich Null.
Auch bei den Ordinalzahlen gibt es die Null, obwohl Peano eigentlich N0 schrieb.
@eumenes
Mein Studium war vor der Wiedervereinigung…
In der Informatik hat das mehr mit der Kodierung von Ziffern einer bestimmten Stellenzahl zu tun. Mit n Bits zählst Du von 0 bis 2^n -1. Und in C werden Arrays deshalb ab Index 0 bis n-1 gezählt. Reiner Pragmatismus. Genau wie die „Metalle“ bei den Astronomen.
„Die Summe von 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … ist … schlicht und einfach 2.“
Schön blöd der Herr Freistetter.
@FF: „Man kann so eine Summe einen Wert zu weisen. Aber dieser Wert ist dann eben NICHT das, was rauskommt, wenn man alle natürlichen Zahlen addiert.“
Wieso ist es denn „NICHT das, was rauskommt, wenn man alle natürlichen Zahlen addiert“? Einzig und allein wegen der Definition über den Grenzwert der Partialsummen, welcher ohne Frage nicht existiert. Diese Definition ist menschengemacht und kein Prinzip der Mathematik verbietet uns, „was rauskommt, wenn man alle natürlichen Zahlen addiert“ mit einer anderen Definition für den Wert einer Reihe zu berechnen, was eben zu dem Ergebnis -1/12 führt. Es gibt mehrer solcher Definitionen, welche übereinstimmend -1/12 ergeben. Wenn diese Definition zusätzlich noch physikalisch extrem sinnvoll ist, indem sie etwa endliche Erwartungswerte für Vakuumsenergien ergibt und damit elegant Regularisierung und Renormierung umgeht, wieso soll man dann nicht _gleichwertig_ davon sprechen dürfen, dass die Summe aller natürlichen Zahlen -1/12 ergibt? So oft wurden in der Mathematik Konzepte aufgeweicht und intuitive Definitionen durch (zumindest auf den ersten Blick) weniger intuitive ersetzt (PDE für Funktionen lösen? Nehmen wir doch lieber Distributionen, viel einfacher und sogar physikalisch sinnvoll!), dass ich nicht sehe, wieso es hier verboten sein sollte.
@a.n: „Wieso ist es denn “NICHT das, was rauskommt, wenn man alle natürlichen Zahlen addiert”?“
Weil die mathematische Operation der Addition gut definiert ist. Und nach dieser Definition bekommst du keine negative Zahl wenn du ausschließlich positive Zahlen addierst.
@ Alderamin
Bei meinem geliebten Z80 habe ich auch mit Null begonnen, und da liegt der Hund begraben. Es geht auch immer um das Zahlensystem, ein duales System braucht eine 1 also 2^0.
Damit haben wir aber auch unser Problem, wir können es Konvergenz nennen, oder einfach Existenz und Eindeutigkeit. R ist eben ein offenes Intervall.
Und für die Astronomen ist halt alles hinter He „Metall“.
Gentlemen, bitte… Dr. Plait ist eben auch nur ganz Mensch. Es lag an der Formulierung, nicht am Ansatz.
Weil Mathe kein Wellnesspark ist, a.n, sondern eine Gegend mit echt strammen Regularien.
Nicht, dass ich mehr als das Prinzip verstehen würde …
aber bereits 2008 wurde darüber heftig diskutiert.
https://www.matheboard.de/archive/176380/thread.html
Es ist doch ganz einfach: Die Summe zweier natürlicher Zahlen ist immer eine natürliche Zahl. Ein negativer Bruch ist keine natürliche Zahl.
Mir ist nicht bekannt, wann Ramanujan seine Ideen zu Papier brachte, Theres, doch aus technsichen Gründen muß es irgendwann vor 1921 gewesen sein.
Und selbstverständlich hat ua dieser Aspekt seines Schaffens auch schon in den Jahren bis 2008 für hohe Wellen in Diskussionen gesorgt. Wohl weil viele Menschen nicht mit der innerhalb der Physik durchaus vertretenen kontextgestützten Schreibfaulheit umgehen können und davon ausgehen, zB ein ‚=‘ habe immer ein und dieselbe Bedeutung. Sehr beliebt auch Diskussionen mit der maximal möglichen Anzahl aufeinanderprallender ‚wenn ich „Masse“ sage, meine ich <aspect of mass> und das macht jeder so‚-Varianten im Bereich der *RT.
mathe hat halt manchmal nix mit dem normalen Menschenverstand zu tun. Wem das nicht passt, der hat halt Pech gehabt. Kann verstehen wenn sich da einige mit schwer tun, vor allem die die meinen Mathe müsste doch immer schön intuituv und nachvollziehbar und schön sein. Das ist sie aber nicht ! Wer das nicht einsehen kann ist einfach ignorant.
So richtig verstehe ich die Diskussion hier nicht *amkopfkratz*…
Mathematik war sicher nicht eines meiner Lieblinge im Studium, aber man kann doch von folgenden Annahmen ausgehen (ohne in der Lage zu sein, das jetzt streng mathematisch auszudrücken)…die 0 soll hierbei auch eine natürliche Zahl sein:
1. Natürliche Zahlen sind per Definition positiv (Ausnahme 0)
2. Die Summe zweiter natürlicher Zahlen ist immer positiv (ausser 0+0)
3. Die Summe zweier natürlicher Zahlen ist immer größer als die einzelnen Summanden (Ausnahme 0 als neutrales Element), kann aber niemals(!) negativ werden
5. Die Summanden können hierbei beliebig vertauscht oder zu Einzelsummen zusammengefasst werden
6. Die Anzahl der Summanden ist unendlich groß, daher wächst die Summe ebenjener ebenfalls ins Unendliche…QED!
Oder hab ich da was übersehen??
@Markusewitz: „Oder hab ich da was übersehen??“
Naja, dass die entsprechende Reihe divergent ist, hat ja niemand ernsthaft bestritten. Aber es geht darum, dass bestimmte mathematische Methoden existieren, mit denen man auch divergenten Reihen eine „Summe“ zuweisen kann, die aber nichts mit der normalen Summe, also der Additionen von Zahlen, zu tun hat. Und mit einer dieser Methoden kann man eben dann das -1/12 als Ergebnis kriegen. Aber in dem Video wurde das nicht gesagt sondern so getan, als wäre -1/12 tatsächlich das Ergebnis einer unendlichen Summierung aller positiven Zahlen. Das ist falsch, genau so wie das Argument von Phil Plait, der das Ergebnis mit „wenn unendlich viele Elemente zusammen kommen, dann kann so was schon mal passieren“ begründet hat. Darum gings.
@Sim #6
„Jede natürliche Zahl hat eine endliche Darstellung.“
Ist das so? Natürlich nicht.
In der 10er-Darstellung hat man bei Länge n 10^n Möglichkeiten. Wenn n endlich ist, sind damit nur endlich viele Zahlen darstellbar, also weniger als es natürliche Zahlen gibt. D.h. mit einer Beschränkung auf endliche Darstellungen kann man nicht jede natürliche Zahl darstellen.
q.e.d.
@ misterx
Das kann manchmal oder auch öfter der Fall sein. Hier ist es allerdings nur sehr unglücklich kommunizierte Rechenspielerei mit einem interessanten Hintergrund. In der Mainstreammathematik ist die Summe der natürlichen Zahlen (Aufgefasst als Folge von Partialsummen) schlicht divergent.
Ooops…Nummer 4 hab ich wohl verschluckt :-)…
@ Realistischer
Nicht so voreilig. Das ist ja gerade der Witz, dass jede natürliche Zahl eine endliche Darstellung hat und es trotzdem abzählbar unendlich viele natürliche Zahlen gibt.
Das was du da bewiesen hast ist, dass man nicht einfach annehmen kann, das es eine obere Schranke für die Anzahl der Ziffern gibt mit der man natürliche Zahlen darstellen kann.
Andersrum kann man einfach induktiv beweisen, dass alle natürlichen Zahlen eine endliche Darstellung haben:
i) Die 1 hat endliche Darstellung – trivial
ii) wenn n endliche Darstellung hat dann hat auch n+1 endliche Darstellung, auch das ist trivial.
Damit folgt mit vollständiger Induktion alle natürlichen Zahlen haben eine endliche Darstellung.
q.e.d.
Ich glaube, man sollte die Verwirrung ein wenig klären…
So ziemlich alles, was man „normal“ und ohne Umschweife verstehen und beobachten kann, sind natürliche Zahlen. Also ein Haufen Steine, Rinder etc.
Schon beim Übergang zu ganzen Zahlen (also das Hinzufügen negativer Zahlen) hört das direkte Verständnis auf, da es kein Haufen -1 Steine gibt. Trotzdem macht man es, weil die Operationen im neuen Zahlenraum logisch widerspruchsfrei sind; man behilft sich mit Abstraktionen wie Schulden, um negative Zahlen erklären zu können.
Die Summe von x+1 = 0 hat bei den natürlichen Zahlen kein Ergebnis. Ebensowenig gibt es unendliche Zahlen, d.h. 1+2+3+… hat kein Ergebnis. Die ganzen Zahlen sind nützlich, weil jede Summe, Differenz und Multiplikation ein Ergebnis hat.
Wenn ich eine Torte in 5 Stücke schneide, dann gibt es keine Fünftelstücke, sondern 5 kleinere Stücke. Trotzdem führt man so Bruchzahlen ein, da die Divison als Umkehrung der Multiplikation nützlich ist. Schon hier gibt es ein Problem: Die Division durch 0 hat kein Ergebnis. Bruchzahlen haben für alle Grundoperationen ein Ergebnis, mit der genannten Ausnahme.
Reelle Zahlen treten auf, damit man auch teilweise Ergebnisse für höhere Operationen wie Wurzeln bekommt. Das ist auch der letzte Zahlenraum, den der Normalverbraucher normalerweise zu Gesicht bekommt.
Beim Übergang von reellen zu komplexen Zahlen tritt dann der erste wirkliche Bruch auf: Wurzeln aus negativen Zahlen sind „Unsinn“, der Vorwurf ist wirklich alt. Aber Leute haben damit herumexperimentiert und stellen fest, dass man die Operationen sinnvoll definieren kann. Man gewinnt dadurch die Möglichkeit, für praktisch alle Operationen ein sinnvolles Ergebnis zu erhalten, verliert jedoch auch Eigenschaften: Alle Größenrelationsoperatoren sind ungültig (d.h. es gibt kein >,<, =).
Es hat sich herauskristallisiert, dass sich die Frage nach „Ist es unsinnig ?“ nicht stellt, sondern ob der verwendete Zahlenraum und die definierten Operatoren sich widerspruchsfrei definieren lassen. Mehr nicht.
Die Operation „reelle Quadratwurzel“ ist z.B. NICHT identisch mit der „komplexen Quadratwurzel“, obwohl sie für den positiven reellen Raum dasselbe Ergebnis liefern. Das ist für Leute verwirrend, weil dasselbe Symbol für *ähnliche*, aber nicht identische Operationen verwendet wird.
Kann man den Zahlbegriff erweitern ? Ja, 1960 hat der Mathematiker Robinson die Nichtstandardanalysis erfunden. Die Behauptung, 0._999999999 = 1 ist in R uneingeschränkt gültig. Man kann jedoch R erweitern zu dem sogenannten Nichtstandardraum R*, in dem die Menge der natürlichen Zahlen selber eine ganz normale unendliche Zahl (!) ist, nämlich \omegaup. Da es sich um einen Körper handelt, gibt es genauso unendlich kleine Zahlen (Infinitesimale), die kleiner als jegliche reelle Zahl sind: \varepsilonup.
Am einfachsten stellt man sich das so vor, dass man Reihen widerspruchsfrei zu Zahlen definieren kann.
Die Behauptung 0._9999999999… = 1 ist im R* nicht uneingeschränkt gültig. Definiert man 0._99999… als Folge von {0.9, 0.99, 0.99, ….}, dann läßt sich zeigen, dass dies ungleich 1 ist und dass es eine Infinitesimalzahl gibt, die kleiner ist als die Distanz zwischen 0._99999…. und 1.
1/3 * 3 *bleibt* jedoch 1.
Schwirrt das Hirn 🙂 ?
Es ist also keineswegs eindeutig, dass das Symbol „+“ im Video die natürliche Summe darstellt. Vektoraddition benutzt auch „+“. Man kann eine Summe wie Ramunujan definieren. Es ist also im Gegensatz zu den Beteuerungen hier alles andere als eindeutig, dass das „+“ hier die Summe aller natürlichen Zahlen *ist*.
Wenn sie es ist, dann hat die Operation 1+2+3+…. kein Ergebnis und ist größer als jede natürliche Zahl.
Wenn sie z.B. die Summe im Nichtstandardraum R* ist, dann hat sie den Wert \omegaup und ist eine ganz normale unendlich große Zahl.
Wenn sie die Ramunujansumme ist, dann ist der Wert -1/12.
Der Witz ist, dass man in der höheren Physik für die Lösung von Gleichungen der z.B. Quantenfeldtheorie divergente Werte erhält, d.h. sie müssten unendlich groß sein. Nun gibt es Methoden, die wie die Ramunujansumme es ermöglichen, divergente Reihen einander auszugleichen und was Endliches zu erhalten, die sogenannte Renormierung.
@TSK: „Es ist also keineswegs eindeutig, dass das Symbol “+” im Video die natürliche Summe darstellt.“
Deswegen wäre es gut gewesen, zu sagen, was es darstellen soll. Genau darum gehts. Ich behaupte ja nicht, dass es NICHT möglich ist, zu dem Ergebnis zu kommen, das im Video berechnet wird. Das hab ich doch explizit im Artikel geschrieben. Ich sage nur, dass dieses Ergebnis nicht die natürliche Summe aller natürlichen Zahlen ist, was implizit behauptet wird, da man nicht spezifiziert, um was es geht.
@Sim:
„@ Realistischer
Nicht so voreilig. Das ist ja gerade der Witz, dass jede natürliche Zahl eine endliche Darstellung hat und es trotzdem abzählbar unendlich viele natürliche Zahlen gibt.“
Oh nein! Bitte nicht!
Die Diskussion hatten wir schon mal.
Hat damals auch nix gebracht ….
@Sim
Bitte nichtnochmal 200 Posts zu diesem Thema. Eher geht ein Kamel durch ein Nadelöhr…
@Florian:
Alles richtig. Ich fürchte nur, dass jetzt die absolute Mehrheit der Videogucker zum Ergebnis kommen:
a) Phil Plait liegt falsch.
b) Der Fehler ist offensichtlich.
c) Stringtheoriephysiker brauchen dringend frische Luft.
@TSK: Nun ja, Phil Plait LAG falsch…
@Gast: “ Im übrigen wird hier oft nicht auf sachliche Argumente eingegangen, sondern nur die eigene meinung wiederholt. Das ist etwas intolerant.“
Weisst, du wenn du „sachlich“ diskutieren wolltest, dann hättest du vielleicht selbst sachlich anfangen sollen anstatt erst mal allen „Empörung“ und „Intoleranz“ vorzuwerfen (Meine Güte, schau doch bitte endlich mal nach, was dieses Wort bedeutet! Ein Hinweis: „intolerant“ heißt nicht „da macht einer was, was ich doof finde“…)
#23@Florian
Ein Video“ treibt sich rum“… von den „eigentlich“ sehr guten Leuten das klingt nach Empörung.
Den Begriff unendliche Summe gibt es eigentlich nicht,
Viele Beiträge vermengen in unzulässiger Weise die Begriffe Summe und Grenzwert. Im Video und in der Zeta-Funktion Herleitung werden übrigens keinerlei Grenzwertbetrachtungen angestellt, sonder „nur“ Berechnungen, die zum gewünschten Ergebnis führen. Im übrigen wird hier oft nicht auf sachliche Argumente eingegangen, sondern nur die eigene meinung wiederholt. Das ist etwas intolerant.
#36 @markusewitz
1-5 gilt nur für endliche Mengen, also gibt es für 6 unendliche Mengen betreffend keine Begründundung mehr qed
#22 @Gono
Die Summe von rationalen Zahlen ist auch immer rational. Eine unendliche Summe muss es aber nicht sein:
Summe 1/ ik^2 = pi^2/6, deswegen hinkt deine Logik
@Florian:
Unterm Video:
„The sum of all natural numbers (from 1 to infinity) produces an „astounding“ result.“
Ja gut…er liegt falsch.
Intoleranz heißt, da ist einer der sich mit anderen Meinungen, Argumenten nicht auseindersetzen will, sondern stur auf seinen beharrt. Das scheint mir hier hin und wieder der fall zu sein.
p.s. Ich hab auf algebraische Klassenbildung und Kardinalzahlen hingewiesen.
@Gast:
sum(n,1,infinity,1/(n^2i) = pi^2/6i.
Da fehlt das i im Nenner und i gehört auch nicht zu den rationalen Zahlen.
@Gast
Dann ist es insbesondere intolerant, wenn man Recht hat und demjenigen, der Unrecht hat, widerspricht. aus welchem Esoterik-Forum kommst Du denn?
@#51: Nimm das:
1 > -1/12
Wenn für n aus N gilt ∑ (k=1..n) k > -1/12, dann ist ∑ (k=1..n+1) k = ∑ (k=1..n) k + (n+1) > -1/12 + n +1 = 11/12 +n > 0 >-1/12 also gilt induktiv, dass die Reihe ∑ (k=1..n) k für alle n > -1/12 ist. Folglich gilt dies auch für den Grenzübergang n->∞.
Jetzt geh‘ bitte mal auf dieses Argument ein und ändere Deine Meinung.
@Gast, #51
Nö. Das was du da beschreibst nennt man ‚ignorant‘. Zur Intoleranz fehlt noch eine Zutat. Ich muss dir aus deiner Meinung auch einen Nachteil erwachsen lassen bzw. aktiv gegen deine Meinung vorgehen. Solange ich deine Meinung zwar anerkenne, mich aber nicht weiter damit beschääftige, toleriere ich ja, dass du eine abweichende Meinung hast. Sie interessiert mich nur nicht weiter, ich ignoriere sie.
@ PDP10 und Alderamin
Oh ich wusste doch, dass mir der Name irgendwie bekannt vorkam. Nagut dann hab ich ihn halt nur fürs Protokoll für alle die mitlesen korrigiert. Ich bin wohl schon zu müde und leg mich gleich mal aufs Ohr. Gute Nacht.
@alderamin #53
Mit dem Satz von der vollständigen induktion beweist man die Gültigkeit eine Aussagefür jede natürliche Zahl. Unendliche Grenzübergänge kommen nicht vor.
Nur jede (endliche) Partialsumme ist > -1/12
@alderamin
Versuch doch mal mit deiner Methode zu beweisen, dass
die Summe der reziproken Quadratzahlen rational ist
Sum(k=1,…) 1 / k^2
@Alderamin:
„Dann ist es insbesondere intolerant, wenn man Recht hat und demjenigen, der Unrecht hat, widerspricht.“
Ja natürlich! Wie intolerant ist das denn eine falsche Aussage einfach als falsch zu bezeichnen!
Ich schlage vor, dass man in Zukunft zu Aussagen wie 1 = 2 oder „PI ist eine natürliche Zahl“ anders richtig sagt!
@TSK: Du hast in Deinem Posting #42 noch die Quaternionen vergessen…
Die braucht man in diesem Zusammenhang zwar nicht, würden sich aber schön in die Reihe der Erklärungen für die unterschiedlichen Zahlenmengen einfügen. 😉 Vor allem, weil sie nach den Komplexen Zahlen kommen…
@Sim
Wenn man nicht annehmen darf, dass es eine obere Schranke für die Anzahl der Ziffern gibt, dann bleibt diesbezüglich nur die Annahme, dass es keine solche gibt. Also: Unendlichkeit.
Aber das mit dem Kamel und dem Nadelöhr stimmt schon, ausgenommen ganz große Nadeln. Über mögliche Anwendungsfehler beim Induktionsbeweis zu diskutieren bringt daher nix, diese Nadel ist viel zu klein für Kamele.
@Gast
Ist sie ja gar nicht.
Aber gut, dann anders. Minorantenkriterium. ∑ (k=1..n) k > n. Da die Folge {n} divergent ist, folgt die Divergenz der Folge {∑ (k=1..n) k}.
Ohnehin gilt, dass eine Reihe nur dann konvergieren kann, wenn die Folge der Koeffizienten eine Nullfolge ist (notwendige, nicht aber hinreichende Bedingung), was trivialerweise bei den natürlichen Zahlen nicht erfüllt ist.
https://de.wikipedia.org/wiki/Nullfolgenkriterium
@myself
Ups, ersten Link versemmelt:
Ist sie ja gar nicht.
@sim
“…..111111″ stellt ja schon keine legale Darstellung einer natürlichen Zahl dar
Nein, aber es ist eine legale Darstellung für eine divergierende Reihe. Wenn Dich die Darstellung stört, kannst Du auch die Summenschreibweise aus der ersten Zeile beibehalten und die Rechnung darauf ausführen, das ist formal das gleiche.
Das eigentliche Problem ist, dass hier Rechenoperationen auf einem „Ding“ ausgeführt werden, das zwar aus Ziffern besteht, aber keine Zahl ist. Das wird (mit zumindest) in der 4. Zeile am deutlichsten.
„(mir zumindest)“ sollte es heißen.
@Gast
Deine Aussage bezüglich der rationalen Zahlen stimmt ja auch voll und ganz, widerlegt aber nicht meine Aussage. Diese ist nämlich eben eine Aussage über den von dir erwähnten „Grenzprozess“ ist und nicht über eine rein endliche Summation, da ich eine Aussage über den Grenzwert selbst getroffen habe und nicht über die Partialsummen selbst. Diese tauchten nur in den Voraussetzungen auf.
Gruß,
Gono.
@Gono
Ja, Reihen sind Grenzwerte, und du hast recht…, wenn der Grenzwert existiert. Tut er aber nicht, also darf ein Ergebnis durchaus < 0 sein. Das ist erst mal kein logischer Widerspruch.
@Hans:
Nein, ich habe die Quaternionen nicht vergessen, sondern mit Absicht weggelassen. Der Grund für die Erweiterung der Zahlen war immer fehlende Abgeschlossenheit für bestimmte Operationen, mit Einführung der komplexen Zahlen fällt das weg, jede Operation ergibt wieder eine komplexe Zahl als Ergebnis.
Zum anderen sind sie keine „richtigen“ Zahlen mehr, für die die gewohnten Rechenregeln gelten, sondern ein Schiefkörper, die Multiplikation verhält sich anders als gewohnt. Weiterhin verwendet man in Vektoren in der Physik für die Skalarmultiplikation ausschließlich reelle oder komplexe Elemente, Quaternionen werden AFAIK dafür nie verwendet.
@ schlappohr
Na das ist ja ein starkes Stück. Ob ich das so durchgehen lassen kann ? ;D Ich schreib mal meine Gedanken dazu auf…
Als Reihe hab ich das jetzt tatsächlich nicht aufgefasst. Ein grundsätzliches Problem mit Reihen, wenn man sie so wie üblich, mit Summationsausdruck hinschreibt, ist ja, dass der Ausdruck mehrdeutig ist. Entweder steht er für die Reihe an sich oder aber und das nur dann wenn die Reihe konvergiert, für den Grenzwert der Reihe.
Jetzt steht ja dort „x = …“ . Also was ist das x? Eine (natürliche? reelle?) Zahl? oder eine Zahlenfolge.?
Wenn ich jetzt also diese beiden Dinge, das x und den Ausdruck für die Reihe gleichsetze, dann bestimmt ja das x wie ich den Reihenausdruck zu interpretieren habe.
Wenn das x eine Zahl darstellen soll dann setze ich ja schon implizit vorraus, dass die Reihe konvergiert. Also rutscht hier schon quasi durch die Hintertür eine Prämisse rein die im direkten Wiederspruch zur Divergenz der Reihe steht.
Und da hab ich da jetzt schon meine Zweifel, ob das ein legales Vorgehen ist. Höchstens bei einem Wiederspruchsbeweis wäre das üblich, aber dort begeht man den Fehler (die zu wiederlegende Annahme) ja mit voller Absicht um sie dann ad absurdum zu führen. Also streng genommen, ist dann hier schon die erste Zeile falsch :-/
und genauso wenig wie die Summe aller positiven Zahlen weder eine negative Zahl noch einen Bruch darstellen kann,
genausowenig war das Universum mal auf einen Punkt konzentriert, oder etwa doch?
Beides ist doch absolute Theorie ohne jeglichen Beweis!
@Manfred: „genausowenig war das Universum mal auf einen Punkt konzentriert, oder etwa doch?
Beides ist doch absolute Theorie ohne jeglichen Beweis!“
1) kann man beweisen, dass die Summe von positiven Zahlen keine negative Zahl sein kann.
2) gibt es in der Naturwissenschaft keinen „Beweis“ sondern nur Belege.
3) bedeutet das Wort „Theorie“ in der Naturwissenschaft nicht „Vermutung“ sondern „durch sehr viele Beobachtungsdaten bestätigte Beschreibung der Realität.
4) behauptet niemand das Universum war in einem Punkt konzentriert.
@TSK, #67:
Okay, einverstanden.
Ich muss dazu sagen, ich hab mich mit Quaternionen bisher nur oberflächlich beschäftigt, weil ich sie praktisch noch nicht gebraucht habe.
Und darüber hinaus gibt es noch einen grundlegenden Gegensatz, Manfredo: In der Mathematik sind die Regeln vorgegeben und es wird versucht, die Möglichkeiten zu ergründen, in der Physik ist die Beobachtung der Realität vorgegeben und es wird versucht, ein Regularium zu ergründen.
@Florian
>> 4) behauptet niemand das Universum war in einem Punkt konzentriert.
Ist das jetzt Haarspalterei o_O?
Ist es nicht gängige Meinung, weil das Universum sich ausdehnt muss es ja mal auf einen Punkt konzentriert gewesen sein! Genau das wird dem Normalbürger doch
genauso erzählt. Und jetzt kommst du und behauptest es würde niemand soetwas behaupten?
@Manfredo Piuttosto: „Ist es nicht gängige Meinung, weil das Universum sich ausdehnt muss es ja mal auf einen Punkt konzentriert gewesen sein! Genau das wird dem Normalbürger doch genauso erzählt. Und jetzt kommst du und behauptest es würde niemand soetwas behaupten?“
Du verwechselst da was. Die Urknalltheorie sagt: Das Universum dehnt sich aus und war früher kleiner als heute. Und ganz früher war es ganz winzig. Und wenn man die Gleichungen bis zum Extrem weitertreibt, dann kommt dabei raus, dass es zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt keine Ausdehnung gehabt haben muss und ein Punkt war. Aber weisst du, Wissenschaftler sind auch nicht doof. Die WISSEN, dass es wenig Sinn macht zu behaupten, das Universum wäre ein eindimensionaler Punkt gewesen. Die wissen, dass das nur ein Zeichen dafür ist, dass in diesem extremen Bereich die Beschreibung nicht mehr funktioniert. Deswegen machen sich ja auch jede Menge Wissenschaftler Gedanken darüber wie man eine Theorie findet, die diesen Zeitraum beschreibt bzw. das beschreibt, was vor dem Urknall war. Ich weiß nicht welche Medien du so konsumierst. Es kann gut sein, dass da einige unseriöse dabei sind, die das nicht checken und die Geschichte „Das Universum war ein Punkt“ herum erzählen. Mit der echten Wissenschaft hat das nix zu tun.
Aber ich hab irgendwie das Gefühl, du willst das gar nicht so genau wissen bzw. so ausführlich diskutieren. Deine Kommentare sind so unterschwellig aggressiv, dass ich davon ausgehe, dass du nur hier vorbei gekommen bist um uns doofen Wissenschaftlern zu erzählen, dass der Urknall bescheuert und wir alle dumm sind. Sollte ich mich irren, sag Bescheid. Und dann können wir das Thema Urknall ja an passender Stelle weiter diskutieren. Hier zB:
https://scienceblogs.de/astrodicticum-simplex/2011/02/16/den-urknall-gab-es-wirklich-teil-1-wie-die-elemente-entstehen/
https://scienceblogs.de/astrodicticum-simplex/2011/02/24/den-urknall-gab-es-wirklich-teil-2-das-licht-aus-der-vergangenheit/
@Florian
Und wenn es tatsächlich unendlich groß sein sollte, nicht einmal das…
Hab‘ neulich ein altes Interview mit Ulrich Walter, de nich an sich sehr schätze, bei den Elstner Classics gesehen (war wohl schon von 2004 oder so), wo er behauptete, seit 1998 wisse man, dass das Universum unendlich groß sei. Da weiß er aber mehr als wir alle.
Seit 1998 wissen wir von der beschleunigten Ausdehnung und dass diese voraussichtlich nie in einen erneuten Kollaps führen wird. Aber ob das Universum nur sehr groß oder unendlich groß ist, weiß niemand. Was Walter nicht daran hinderte, munter Schlüsse daraus zu ziehen, z.B. dass in so einem Universum die Entstehung des Lebens unausweichlich sei.
>>Deine Kommentare sind so unterschwellig aggressiv…
Hoppla, das ist jetzt harter Stoff 🙂
Eigendlich wollte ich mit meinem ersten Beitrag nur darauf hinweisen dass weder das Universum jemals ein Punkt war, noch das man jemals „ALLE“ positiven Zahlen zusammen addieren kann, den Grund dafür hast du ja treffend selbst klar gestellt. Nur deine Behauptung, es würde niemand behaupten, dass das Universum mal ein Punkt war, hat mich etwas verärgert, weil es so nicht stimmt.
Selbst wenn der „Punkt“ dreidimensional wäre und wegen meiner auch einen Durchmesser von 1000 Meter oder mehr gehabt hätte, ist das Quatsch. Das Universum hat sich niemals aus einem Klumpen entwickelt und die ach so Intelligenten Wissenschaftler werden selbst in 1000 Jahren nicht herrausfinden wie und woher das Universum kam.
Im übrigen bin ich mindestens zwei mal pro Woche auf deinem Blog, nur spare ich mir meistens die Kommentare da die Themen nicht immer meine Wellenlänge haben 🙂
Glaub mir, ich bin auf deiner Seite, wenn auch nicht immer der gleichen Meinung 😛
@Manfredo: „Hoppla, das ist jetzt harter Stoff :)“
Mir kam es eben so vor. Tut mir leid.
“ Das Universum hat sich niemals aus einem Klumpen entwickelt und die ach so Intelligenten Wissenschaftler werden selbst in 1000 Jahren nicht herrausfinden wie und woher das Universum kam.“
Ok. Und ist das jetzt nur deine persönliche Überzeugung oder gibts dafür irgendwelche Belege? Denn für die Urknalltheorie gibt es jede Menge Belege.
@Manfredo Piuttosto
„…und die ach so Intelligenten Wissenschaftler werden selbst in 1000 Jahren nicht herrausfinden wie und woher das Universum kam.“
Völlig rätselhaft, warum man dir unterschwellige Aggressivität unterstellt.
Manfredo ist cool.
Ich fand die Diskussionen ja langsam etwas im Kreise verlaufend, aber das Wort unterschwellig hat mich aus meiner Lethargie gerissen. Vergesst, was ich zu Intoleranz und Unverständmis gesagt habe, unterschwellig , das isses.
@Sim
Wenn ich Dich richtig verstehe, machst Du eine Unterscheidung zwischen der Reihe selbst und dem Grenzwert der Reihe, falls er existiert.
Da kann ich nicht ganz nachvollziehen. Eine Reihe ist zunächst mal eine Summe von Zahlen. Eine unendliche Reihe kann konvergieren oder divergieren, insofern ist x im allgemeinsten Fall ein Element aus der Menge der komplexen Zahlen vereinigt mit {unendlich}, bzw. in unserem Fall aus N vereinigt {unendlich}.
Wenn die Reihe divergiert wie in unserem Fall, dann nimmt x den „Zustand“ unendlich an, d.h. keinen sinnvollen Zahlenwert. Die einzige Aussage, die wir über x machen können, ist x>d für jedes beliebige d. Man darf nicht den Fehler machen, nun irgendeine Darstellung für x zu nehmen und damit weiter zu rechnen, als wäre es eine normale Zahl. Dieser Fehler wurde in Florians Video ebenso gemacht wie in meinem Beispiel.
@Manfredo Piuttosto
Da Du Dich nicht mit dem Thema auskennst, hast Du vermutlich eine völlig falsche Vorstellung von der Urknalltheorie. Es ist ja nicht so, dass die heutige Materie in den ersten Sekundenbruchteilen schon existiert haben soll. Nach der Sekunde 10^-33 existierte nach der Urknall-Standardtheorie ein Vakuum, das mit Strahlung erfüllt war und das heute beobachtbare Universum war damals schon ein paar Lichtjahre oder so groß.
In den Sekunden 10^-35 bis 10^-33 hatte das Vakuum hingegen einen anderen Zustand (sogen. falsches Vakuum), in welchem das Vakuum eine immens höhere Energiedichte hatte. Diese sorgte dafür, dass sich der Raum alle 10^-35 s in der linearen Ausdehnung verdoppelte (wenn Dir das absurd erscheint: wir beobachten live, wie die Vakuumenergie des heutigen Vakuums den Raum alle paar Milliarden Jahre verdoppelt). Mit dem Wachstum des Raums kam immer mehr Vakuum mit frischer Energie dazu. Am Anfang war es nur ein winziges Volumen mit hoher Energiedichte und nach 10^-33 s ein riesiges Volumen mit der selben Dichte pro Volumenenlement. Und dann tunnelte das Vakuum vom falschen ins echte Vakuum (jedenfalls unser Vakuum, vielleicht geht ja noch weniger Energiedichte) und die gespeicherte Energie wurde als Strahlung frei. Aus dieser entstanden dann die Teilchen und die Hintergrundstrahlung.
Also fing das beobachtbare Universum nach dieser Theorie der kosmischen Inflation als winziges Volumenelement (vielleicht von der Größe der Planck-Länge) mit großer Energiedichte an. Es enthielt zu Beginn jedoch längst nicht die Gesamtenergie, die heute in Form von Strahlung und Teilchen existiert. Erst das inflationäre Wachstum des Raums sorgte dafür, dass mehr Energie hinzu kam, die dann allerdings nicht mehr in einem kleinen Volumen, sondern in ein paar tausend Kubiklichtjahren enthalten waren. Das war die Keimzelle für das heutige beobachtbare Universum.
Insofern war das Universum durchaus beinahe ein Punkt und jedenfalls kleiner als tausende Meter. Nur hatte es da noch einen ganz anderen Inhalt.
@ schlappohr
Na ich geh schon davon aus, dass wir hier unendliche Reihen betrachten. Und dass es einen Unterschied zwischen der Reihe selbst und ihrem Grenzwert gibt hab ich mir auch nicht selber ausgedacht, das lernt man so.
Steht zum Beispiel auch hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_%28Mathematik%29 bei „Semantik und Vergleich“
Wenn du schreibst:
x kann dann aber auch noch „Not a Number“ sein. Von Divergenz gibt es ja schließlich verschiedene Geschmacksrichtungen, bestimmte und unbestimmte Divergenz. Das Element müsste man dann auch noch dazunehmen und schauen , dass alle Rechenoperationen darauf sinnvoll definiert werden. (glaub ich zumindest, rechnen mit NaNs kommt ja zumindest bei der Programmierung häufig vor, aber ich bin fast sicher, dass das herbe Einschränkungen mit sich bringt wenn man damit übliche Analysis betreiben möchte)
Aber wieso sind wir jetzt im komplexen? Da hat das Symbol unendlich ja schon wieder eine völlig andere Bedeutung als bei den erweiterten reellen Zahlen. Deswegen kann man auch im komplexen eben nicht einfach x>d sagen sondern höchstens |x|>|d|. ( Ich bin jetzt mal davon ausgegangen, dass du die bestimmte Divergenz im komplexen bezüglich der üblich definierten Quasiordnung der komplexen Zahlen meintest. )
Aber gut, vielleicht ist es ja ok wenn man annimmt, dass x aus den erweiterten reellen Zahlen ist, da die Reihe ja bestimmt divergiert. Dann wären zumindest keine Vorbedingungen verletzt. (Allerdings nur weil wir schon wissen, dass sie nicht verletzt sind da die Reihe bestimmt divergiert, normalerweise müsste man wohl zusätzlich beweisen dass die Reihe zumindest nicht unbestimmt divergiert)
Sei es wie es sei. Das ist jetzt auch ein ganz schön großes Bohei um die paar Zeilen. Letzten Endes läuft es halt darauf hinaus, dass die Ausdrücke mehrdeutig sind wenn man nicht dazu schreibt was was ist. Das ist halt der Grund warum wir in der Mathematik hier ständig so penibel sind ^^
Aber ich weiß ja dass dein Hauptanliegen
ist. Und das ist ja auch richtig und wichtig und kann ich auch so unterschreiben.
es gibt auch eine andere Methode das auszurechnen. Und zwar multipliziert man n mit e^cx dann schreibt man alles mit angenähertem c (expand it in c), und dann nach ein paar Umformungen nimmt man das Limit von c gegen 0 , dann verschwindet die exponentialfunktion wieder und es kommt -1/12 raus.
mistery an misterx
das glaub ich nicht
@Florian Freistetter
Danke für die Aufklärung.
Nochmal zum Video:
Ich bin kein Zahlentheoretiker aber soweit ich weiß, darf man Reihen nur umsortieren, wenn sie konvergieren. Nach dem Cauchy-Kriterium divergieren die konstruierten Reihen.
Hier ein Beispiel, warum man das nicht machen darf:
S = 1+2+3+…
Sg= 2+4+6+.. (alle geraden Zahlen)
Su= 1+3+5+…(alle ungeraden Zahlen)
Man könnte die geraden und ungeraden Zahlen durch S ausdrücken:
Sg= 2S
Su= 2S-1
Alle Zahlen wären demnach alle geraden plus die ungeraden:
S= Sg+Su=2S+2S-1
daraus folgt: S=1/3
Jetzt meine Frage an Euch (bzw. an die Mathematiker unter Euch). Warum darf man es in meinem Beispiel nicht machen aber in dem Bespiel im Video, in dem -1/12 herauskommt?
Oh…pardon.
Da ist mit ein grober Schnitzer unterlaufen.
Su ist nicht 2S+1. Sorry.
Dennoch gibt es bestimmt Beispiele, an denen man sieht, dass divergente Reihen nicht beliebig umsortiert werden können…
Bernd: Das ist ja genau der Punkt: das darf man „normalerweise“ nicht. 😉
@Bernd
Ich würde sagen, da die von Dir aufgestellten Reihen nicht konvergieren, sind die Werte S, Su, Sg, 2S etc. alle unendlich und mit „unendlich“ kann man nicht rechnen, als ob es irgendeine beliebige Zahl wäre. Z.B. sind die Mengen alle gleichmächtig (Aleph-0, das ist die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen). Deswegen müsste in der letzten Zeile auch S = Aleph-0 stehen.
@bernd:
Reihen darf man nur umsortieren, wenn sie absolut konvergent sind! Der Riemannsche Umordnungssatz liefert dir die gesuchten Gegenbeispiele.
Die Konstruktion mit Primzahlen im Video ist totaler Overkill (und deswegen bleiben so viele Zimmer frei). Mit Produkten von Primzahlpotenzen kann ich eine Folge natürlicher Zahlen in einer einzigen natürlichen Zahl kodieren. Das ist aber gar nicht nötig, weil ich nur Paare natürliche Zahlen kodieren muss. Ein Paar sieht so aus: (Busnummer, Sitznummer). Um ein Paar in einer natürlichen Zahl zu kodieren bietet sich die Cantor-Diagonalisierung an, und ich kenne die Geschichte von Hilberts Hotel auch eigentlich mit dieser Cantor-Diagonalisierung.
ich will wohl meinen das 1/12 diese summe ist und ich kann es beweisen obwohl ich erst 12 bin
A=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1…
B=1-2+3-4+5-6+7-8
C=1+2+3+4+5+6+7+8+9…
2*B=1-2+3-4+5-6+7-8…
+1-2+3-4+5-6+7-8…=
1-1+1-1+1-1+1…=A 2*B=A ———————->B=1/2 *A
C-B=4+8+12+16+20…=4.(1+2+3+4+5+6+7+8+9…)=4.C
C-B=4*c ——–>-B=3*C ——->C=-1/3*1/2*A=-1/3*1/2*1/3=1/12
das beweißt es leute
@Alle Mathe-Fans
Zu den Primzahlen habe ich noch was Interessantes gefunden, ein Primzahlenpolynom,
welches zwar Mathematiker sicherlich kennen, aber nur die wenigsten Leser hier. 🙂
f(a,b,…,z)=
(k+2){1 -[wz+h+j-q]²
……….. -[(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z]²
……….. -[2n+p+q+z-e]²
……….. -[16(k+1)³(k+2)(n+1)²+1-f²]²
……….. -[e³(e+2)(a+1)²+1-o²]²
……….. -[(a²-1)y²+1-x²]²
……….. -[16r²y^4(a²-1)+1-u²]²
……….. -[((a+u²(u²-a))²-1)(n+4dy)²+1-(x+cu)²]²
……….. -[n+l+v-y]²
……….. -[(a²-1)l²+1-m²]²
……….. -[ai+k+1-l-i]²
……….. -[p+l(a-n-1)+b(2an+2a-n²-2n-2)-m]²
……….. -[q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p²-2p-2)-x]²
……….. -[z+pl(a-p)+t(2ap-p²-1)-pm]²}
Quelle: Original-Paper und weiterführende Arbeiten von Yuri Matiyasevich
Sollte die Sache mal geschmeidig laufen, dann kann man es auch für die Verschlüsselung/Entschlüsselung verwenden, was die NSA bestimmt sehr freuen wird. 😉
@Alle Mathe-Fans
Zu den Primzahlen habe ich noch was Interessantes gefunden, ein Primzahlenpolynom,
welches zwar Mathematiker sicherlich kennen, aber nur die wenigsten Leser hier. 🙂
f(a,b,…,z)=
(k+2){1 -[wz+h+j-q]²
………. -[(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z]²
………. -[2n+p+q+z-e]²
………. -[16(k+1)³(k+2)(n+1)²+1-f²]²
………. -[e³(e+2)(a+1)²+1-o²]²
………. -[(a²-1)y²+1-x²]²
………. -[16r²y^4(a²-1)+1-u²]²
………. -[((a+u²(u²-a))²-1)(n+4dy)²+1-(x+cu)²]²
………. -[n+l+v-y]²
………. -[(a²-1)l²+1-m²]²
………. -[ai+k+1-l-i]²
………. -[p+l(a-n-1)+b(2an+2a-n²-2n-2)-m]²
………. -[q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p²-2p-2)-x]²
………. -[z+pl(a-p)+t(2ap-p²-1)-pm]²}
Quelle: Original-Paper und weiterführende Arbeiten von Yuri Matiyasevich
Sollte die Sache mal geschmeidig laufen, dann kann man es auch für die Verschlüsselung/Entschlüsselung verwenden, was die NSA bestimmt sehr freuen wird. 😉
Das angeführte Beispiel wie es oben formuliert wird: „Es gibt auch konvergente Reihen. Die Summe von 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … ist zum Beispiel nicht unendlich, sondern schlicht und einfach 2.“
ist nur „halb“ richtig. Die Reihe, die auf Euler zurück geht, konvergiert, stimmt! Aber das Ergebnis ist nicht 2, sondern (pi^2)/ 6 und nicht so ganz elementar einzusehen. Stichwort „hyperharmonische Reihen“.
@Lindeman doch die Reihe (unendliche Summe) 1+1/2+1/4+1/8+…+1/2^n+…. ist 2. Was du wahrscheinlich meinst ist die folgende Reihe 1+1/4+1/9+1/16+1/25+…+1/n^2+… deren Wert ist tatsächlich pi^2/6.
@ Lindemann, @volki
Genau.
In der Reihe 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … steht unterm Strich immer 2 hoch k.
(pi^2)/ 6 käme als Ergebnis raus, wenn unterm Strich immer k hoch 2 stehen würde.
Bernd #86)
„Man könnte die geraden und ungeraden Zahlen durch S ausdrücken: Sg= 2S | Su= 2S-1“
Ich denke:
Sg = S/2
Su = S/2 -1 und Su = S/2 +1
S = S/2 + (S/2 -1)/2 + (S/2 +1)/2 = S/2 + S/4 + S/4 +1-1
S = S(2+1+1)/4 = S
[…] Mathematisch ist die Unendlichkeit mittlerweile gut erfassbar und man kann sogar unendliche Unendlichkeiten beschreiben. Nur mit der Vorstellung hapert es eben immer noch. Ich erinnere mich noch gut, als vor ein paar Jahren ein Video viral durchs Internet ging, in dem eine erstaunliche Eigenschaft der Unendlichkeit diskutiert wurde. Die Summe aller natürlichen Zahlen, als 1+2+3+4+5+6+… und so weiter bis in die Unendlichkeit, sollte gleich -1/12 sein. Es klingt absurd, dass man unendlich viele positive Zahlen addieren kann um dann zu einem negativen und nicht unendlich großen Ergebnis zu kommen. Und natürlich ist es auch absurd. Die Summe aller natürlichen Zahlen ist unendlich groß. Sie hat keinen endlichen Wert und schon gar nicht -1/12. Aber man kann unter ganz bestimmten mathematischen Bedingungen einer solchen unendlichen Summe einen bestimmten endlichen Wert zuweisen und in dem Fall war das eben -1/12. Ich habe das hier genauer erklärt. […]