Zwei Sterne und ein Planet bilden eine auf den ersten Blick sehr absurde Konfiguration: Ein „Sitnikov-System“. Und obwohl das Ganze so absurd ist, ist es für die Astronomie enorm wichtig. Denn in der Bewegung dieses Planeten findet man die komplette Komplexität regulärer und chaotischer Bewegungen. Es ist ein ideales Studienobjekt zur Untersuchung der Stabilität von Planetensystemen.
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Transkription
Sternengeschichten Folge 212: Das Sitnikov-Problem
Die meisten Sterne sind nicht alleine, sondern Teil eines Doppel- oder Mehrfachsternsystems, wie ich schon in Folge 58 der Sternengeschichten erklärt habe. Solche Sternsysteme können auch Planeten haben: Wir kennen mittlerweile einige Doppelsterne, bei denen ein Planet um beide beziehungsweise einen der beiden Sternen kreist. Mehrere Sterne und Planeten die zusammen ein stabiles System bilden findet man in unserer Milchstraße häufig genug. Aber etwas wird man mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit nicht finden: Ein Sitnikov-System.
1961 hat sich der russische Mathematiker Kirill Alexandrowitsch Sitnikov Gedanken über das Dreikörperproblem gemacht. Was das ist, habe ich schon in Folge 175 der Sternengeschichten erklärt: Man will dabei verstehen, wie sich drei Himmelskörper unter ihrem gegenseitig aufeinander ausgeübten Gravitationseinfluss bewegen. Zum Beispiel Sonne, Erde und Mond: Jeder dieser drei Himmelskörper übt eine Gravitationskraft auf alle anderen Himmelskörper aus und diese Kraft bestimmt, wie sich Sonne, Erde und Mond umeinander bewegen. Die mathematischen Gleichungen mit denen man diese Bewegung berechnen kann, sind zwar kompliziert aber sie lassen sich auch leicht aufstellen. Im Prinzip weiß man schon seit der grundlegenden Arbeit von Isaac Newton im 17. Jahrhundert, wie man so etwas macht.
Was viel schwieriger ist, ist eine Lösung für diese Gleichungen zu finden. Genaugenommen ist es nicht nur schwierig, es ist sogar unmöglich! Ende des 19. Jahrhunderts hat der französische Mathematiker Henri Poincaré bewiesen, dass man die Gleichungen des Dreikörperproblems nicht mathematisch exakt lösen kann. Das heißt aber nicht, dass man überhaupt nichts über die Bewegung von Sternen und Planeten aussagen kann. Die Gleichungen lassen sich zwar nicht exakt lösen, aber dafür näherungsweise und diese Näherungen kann man im Prinzip fast beliebig genau machen. So genau immerhin, dass wir mit ihrer Hilfe Raumsonden durch das Sonnensystem steuern und zielgenau auf anderen Himmelskörpern landen lassen können.
Die näherungsweise Lösung ist aber nur eine Möglichkeit, sich der Frage des Dreikörperproblems zu widmen. Es gibt noch eine andere Taktik: Man kann auch anstatt dem kompletten Dreikörperproblem verschiedene eingeschränkte und vereinfachte Spezialfälle betrachten. Und genau ein solcher Spezialfall ist das Sitnikov-Problem!
Hier kreisen nicht irgendwelche Himmelskörper umeinander, sondern zwei Sterne und ein Planet. Der erste, der sich mit solchen Systemen befasst hat, war der amerikanische Mathematiker William MacMillan. Er stellte sich zwei Sterne mit gleicher Masse vor, die einander umkreisen und zwar auf kreisförmigen Umlaufbahnen. Da beide Sterne gleich schwer sind, umkreist nicht der eine den anderen sondern beide bewegen sich gemeinsam um einen zwischen ihnen im Weltraum liegenden Punkt; dem sogenannten Massenschwerpunkt. Der dritte Himmelskörper in diesem System ein Planet. Allerdings ein sehr spezieller Planet! Anstatt sich um die Sterne herum zu bewegen, bewegt sich er sich entlang einer senkrecht durch den Massenschwerpunkt verlaufenden Linie auf und ab.
Die Umlaufbahnen der beiden Sterne definieren die fundamentale Ebene dieses Systems. Zwischen ihnen liegt der Massenschwerpunkt und durch diesen Punkt verläuft eine Linie, die senkrecht auf die Bahnebene der Sterne steht. MacMillan fand nun heraus, dass sich ein Planet der sich auf genau dieser Linie befindet, diese Linie niemals verlassen wird. Er kann sich nicht in der gleichen Ebene bewegen wie die beiden Sterne sondern ausschließlich entlang der senkrecht auf die Ebene stehenden Linie.
Die Sterne kreisen also umeinander und zwischen ihnen pendelt der Planet auf und ab. Das ist eine ziemlich seltsame Konfiguration für ein Planetensystem, aber sie macht die Sache auf jeden Fall mathematisch einfacher! Denn da der Planet sich nur auf und ab bewegen und nicht beliebig im Raum herum bewegen kann, braucht man auch nur eine Koordinate, um seine aktuelle Position zu beschreiben. Alles was man wissen muss ist ist der Abstand den der Planet gerade zur Bahnebene der Sterne hat. Setzt man dann noch – so wie MacMillan das getan hat – voraus dass die Masse des Planeten so gering ist, dass sie die Bewegung der Sterne nicht beeinflussen kann, wird es noch einfacher. Um die Bewegung der Sterne zu berechnen kann man dann auf die simplen Gesetze zurück greifen, die schon Johannes Kepler Anfang des 17. Jahrhunderts aufgestellt hat. Es ist also möglich, mathematisch exakt zu berechnen, wie sich die Sterne bewegen. Und weiß man dass, kann man auch eine mathematisch exakte Lösung für die Auf-und-Ab-Bewegung des Planeten finden.
MacMillan konnte also zeigen, dass es in der von ihm untersuchten vereinfachten Variante des Dreikörperproblems mathematisch lösbare und vorhersagbare Bewegungszustände des Planeten gibt. Dass die ganze Thematik aber nicht nach ihm benannt wurde, sondern nach dem Russen Sitnikov, hat aber einen Grund.
Denn Sitnikov nahm sich genau diese seltsame Konfiguration aus Stern und Planet in den 1960er Jahren noch einmal vor. Nur wollte er sich nicht an all die Vereinfachungen halten, die MacMillan aufstellte. Er ließ zu, dass sich die Sterne auch auf elliptischen Bahnen umeinander bewegen können und nicht nur auf Kreisen wie MacMillan das tat. Jetzt hatte Sitnikov aber ein Problem: In dieser Konfiguration konnte er die Gleichungen die die Bewegung beschreiben nicht mehr mathematisch exakt lösen.
Das Sitnikov-Problem war genau so chaotisch wie das normale Dreikörperproblem; genau so wenig mathematisch exakt vorhersagbar wie die reale Bewegung der Planeten in unserem Sonnensystem. Das Sitnikov-Problem war aber auf eine äußerst interessante Art und Weise chaotisch. Und genau deswegen wird es auch von Astronomen seit Jahrzehnten untersucht. Natürlich ist allen klar, dass es sich um ein rein theoretisches Modell handelt. In der Realität könnten sich zwei Sterne und ein Planet niemals in der seltsamen Sitnikov-Konfiguration anordnen. Die Art und Weise wie Sterne und Planeten entstehen sorgt dafür, dass sich alle in mehr oder weniger der gleichen Ebene bewegen; dass ein Planet sich senkrecht über der Ebene der Sterne auf und ab bewegt und das noch dazu genau auf einer Linie durch den Massenschwerpunkt kann nicht passieren.
Aber auch wenn es im echten Universum kein Sitnikov-System geben wird, ist es lohnend sich damit zu beschäftigen. Es ist mathematisch viel einfacher zu formulieren und zu untersuchen als ein reales Planetensystem. Und zeigt trotzdem genau das gleiche komplexe und chaotische Verhalten, das wir von den realen Himmelskörpern kennen. Das, was wir im echten Universum nur sehr schwierig untersuchen können, können wir im Modell des Sitnikov-Systems viel einfacher erforschen und analysieren.
Und im Laufe der Zeit gab es da jede Menge sehr interessante Ergebnisse. So wie auch bei echten Planetensystemen gibt es auch im Sitnikov-System chaotische und reguläre Zustände. Je nachdem wie stark die Bahnen der Sterne von einer Kreisbahn abweichen, verändert sich die Bewegung des Planeten. In den regulären Fällen pendelt er regelmäßig wie ein Uhrwerk auf und ab. Im Sitnikov-System kann man ein Jahr als den Zeitraum definieren, den der Planet für eine komplette Auf-und-Ab-Bewegung benötigt. Im regulären Fall ist dieser Zeitraum immer gleich; das Jahr des Planeten dauert immer gleich lang. Es gibt auch noch komplexere reguläre Zustände, in der sich die Dauer eines Jahrs verändert, dabei aber einem sich wiederholenden Muster folgt.
In den chaotischen Zuständen gibt es keine Regelmäßigkeit bei der Dauer eines Jahres. Der Planet pendelt völlig unvorhersehbar auf und ab und es gibt keine Muster oder periodischen Zustände.
Ganz besonders faszinierend ist aber eine Eigenschaft, die der Mathematiker Jürgen Moser 1973 entdeckt hat. Wenn man die Anfangsbedingungen des Sitnikov-Problems, also die Position der Sterne; die Abweichung ihrer Bahnen von der Kreisform, usw, verändert, bekommt man im nicht-regulären Fall immer unterschiedliche chaotische Auf-und-Ab-Bewegungen. So ein chaotischer Zustand lässt sich durch eine Folge von Zahlen beschreiben. Zum Beispiel würde die Folge 2, 7, 17, 1, 45, 3, … bedeuten, dass der Planet zuerst 2 Zeiteinheiten braucht um sich einmal auf und ab zu bewegen; danach 7, dann 17, dann nur eine Zeiteinheit, dann ganze 45 Zeiteinheiten, dann 3 und so weiter. Ein anderer möglicher Zustand wäre die Folge 2,2,2,2,2,4,5,18,56,198, usw. Hier startet der Planet mit einem regelmäßigen Jahresablauf und braucht immer zwei Zeiteinheiten für eine Pendelbewegung, bevor sie auf einmal immer länger wird und sich der Planet immer weiter von den Sternen entfernt, bevor er seine Bewegungsrichtung wieder umkehrt.
Moser konnte nun aber zeigen, das man sich irgendeine beliebige Abfolge von Zahlen ausdenken kann und immer eine Ausgangskonfiguration des Sitnikov-Problems finden wird, bei der der Planet bei seiner Pendelbewegung genau dieser Zahlenfolge folgen wird! Egal also, wie komplex oder seltsam man die Bewegung des Planeten haben möchte: Im Sitnikov-Problem findet man irgendwo genau diese komplexe und seltsame Art der Bewegung.
Genau deshalb ist es für die Astronomie auch so wertvoll. Das Sitnikov-Problem mag zwar seltsam und künstlich sein; mag keine Entsprechung in der Realität haben. Aber es ist mathematisch einfach zu untersuchen und enthält trotzdem die gesamte Komplexität die man bei der Bewegung von Himmelskörpern finden kann!
Und wenn man zwei solche Systeme kombiniert, kann man auch Sachen – theoretisch – auf unendliche Geschwindigkeiten bringen:
https://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2010/08/18/von-null-auf-unendlich-in-108-sekunden/
@Florian
Müsste der Planet nicht auch theoretisch eine Ellipse mit 90° Inklination gegen die Ebene der Sterne um den gemeinsamen Schwerpunkt derselben beschreiben können oder wäre das instabil? Die Exzentrizität und große Halbachse der Ellipse würde dann vermutlich auch stark schwanken.
@Alderamin: GUte Frage; Ist vielleicht möglich – das müsste man mal simulieren. Aber das Sitnikov-Problem ist speziell so definiert wie beschrieben und die DGL die man da numerisch löst haben eben nur das „z“ drin; der Planet kann in diesem Rahmen also gar nix anderes machen als auf und ab zu schwanken.
Nein ich verstehe es nicht. Wenn es keine chance gibt, dass dieses System irgendwo existiert (oder nur eine verschwindend geringe), warum rechnen Astronomen dann darauf herum?
Ist das nur eine Rechenübung für Studenten aus dem Grundkurs, oder wird richtig echte Forschungszeit darauf verwendet?
@Anderas: „Ist das nur eine Rechenübung für Studenten aus dem Grundkurs, oder wird richtig echte Forschungszeit darauf verwendet?“
Wie ich ja gesagt habe: Es ist ein Modellsystem. Es ist ein einerseits einfach zu beschreibendes und andererseits höchst komplexes dynamisches System. Damit lassen sich die Eigenschaften dynamischer Systeme hervorragend untersuchen. Das, was man dort findet, kann man auch auf andere chaotische dynamische Systemen finde. Und die Eigenschaften dynamischer Systeme WILL man verstehen. Denn die gibt es überall; in der Natur, in der Technik – überall. Wenn du heute Abend nach der Tagesschau den Wetterbericht anschaust, dann – zumindest auch zu einem Teil – deswegen, weil Mathematiker sich mit dem Sitnikov-System beschäftigt haben und deswegen besser verstehen, wie das Wetter funktioniert (oder die Satelliten sich bewegen die die Aufnahmen machen). Und solltest du dich bei den Nachrichten zuvor zu sehr aufgeregt haben und einen Schlaganfall erleiden: Auch hier (und in vielen anderen Bereichen der Medizin) haben Erkenntnisse aus der Chaosforschung sehr viel zum Verständnis und den Therapien beigetragen. Ich könnte noch weiter machen und seitenweise Beispiel aufzählen.
Das Sitnikov-System ist ein Werkzeug. Mit dem sich sehr viel sehr wichtiges anstellen lässt.
Ich denke es geht darum chaotisches verhalten bei Köperbahnen auf bessere Mathematische Grundlagen zu stellen.
So hab ich das verstanden.
Sowas könnte für Astronomische Simulationen evt. Sinnvoll sein um Algorithmen bzw. Präzission zu verbessern.
Danke!
Sprich, ja vielleicht ist es vereinfacht aber ansonsten kann man die Methoden die man daran lernt weiter verwenden. Sehr schön.
Grüß dich
War diese Anordnung nicht sogar mal eine mögliche Erklärung für die chaotischen Jahreszeiten in irgend so einer hippen, amerikanischen Serie (Game of Thrones?).
Hast Du (Florian) das nicht sogar schon hier mal thematisiert?
@Yeti: Ich war sogar der einzige, der das thematisiert hat…
@Alderamin
Wenn der Planet nur auf- und abschwingt, ist er immer gleich weit von beiden Sternen entfernt. Wenn er eine Ellipse beschreibt, würde er dadurch näher an einen der Sterne kommen als an den anderen, und diese Ellipse verlassen – wodurch das ganze wieder ein herkömmliches Dreikörperproblem würde.
@Ambivalent
Nur wenn beide Massen gleich groß sind. Müssen sie aber nicht sein, oder?
Weiß ich nicht, im Sonnensystem kreist ja auch alles brav um den gemeinsamen Schwerpunkt und nicht um den Mittelpunkt der Sonne. Man müsste es wohl wirklich mal simulieren. Hat auch bestimmt schon jemand getan.
@Ambivalent
Ein bisschen Abweichung von der z-Achse scheint zu gehen, aber nicht viel.
Siehe auch Fig. 12 in dem Link. Das hieße dann aber auch, die Sitnikov-Bahn ist ziemlich stabil.
Was Aristatch wohl dazu gesagt hätte…. er sagte bewegte Planeten voraus aber außer einer Person wollte ihm keiner glauben. Dann so seltsame Systeme vorzustellen wäre…. gewagt….
Aristarch nicht Aristatch. Handys sind ein Phänomen.
@MartinB! Habe den alten tollen Betrag von Dir …. gelesen.
https://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2010/08/18/von-null-auf-unendlich-in-108-sekunden/
Total tolle Sache, wenn das klappt, kann das doch dann nicht nur mit Gravitation sondern mit allen Kraftfeldern funktionieren?
Also auch mit abstoßenden, elektrisch/magnetischen, den zwei Kernkräften im kleinen oder bliebigen anderen Kräften die wir aktuell noch nicht mal genau kennen – oder?
(Bitte Hilfe-0)
Aber leider versteh ich es mit Gravitation schon nicht. Bei der ersten Richtungsumkehr kann das Abbremsen und die Flugrichtungsumkehr beim zweiten Massepaar doch nur funktionieren, wenn die Rückanziehung da dann größer ist, als die im Flug gespeicherte Energie durch Überschuss Beschleunigung des ersten Paares.
Danach muss nun das Erste Paar aber beim zweiten Anflug aus der anderen Richtung und der nun zu erfolgenden erstmaligen Umkehr an dieser Stelle (der zweiten insgesamt) wieder stärker gebremst und rückbeschleunigt werden, als der Überschuss des zweiten Paares (Achtung!) der aber gerade größer war, als der vom Ersten beim allerersten Durchflug? also 2.>1. und 1. > 2.!
Das ginge nur gut, wenn die Beschleunigungsmassen (mal angenommen es sind alle vier gleich schwer) bei nachfolgenden Anflügen jeweils immer weiter zusammen sind als beim Paar davor um damit größere Anziehungs- bzw. Rückbeschleunigungskraft zu haben.
Ich sehe aktuell nicht wie das langfrsitig hin kommt, sondern denke das ist grundsätzlich langfristig unmöglich, auch bei geschickter Wahl der Startbedingungen funktioniert es nur eine begrenzte Anzahl oft, oder? (oder ist genau das der Trick, dass es da unendlich viele unendlich kleine Steigerungen gibt? (Bitte Hilfe-1)
Bei der tollen Sitnikov Animation denke ich mir beim Anschauen, dass immer, wenn die rote Kugel wieder in den Kreis reinfliegt, – egal ob von oben oder unten – sie dann eigentlich eine Kurve, um die in dem Moment viel nähere blaue Kugel fliegen sollte. Dann wäre die Flugbahn nie so gerade sondern vereiert oder habe ich einen Knick in der Optik? (Bitte Hilfe-2)
@echtsuperdasspotcast
Wie soll sie denn eine Kurve machen wenn die sich nur auf der mit z bezeichneten gerade bewegen kann ?
@echtsuperdasspotcast
Ja genau, „Knick in der Optik“. Die beiden blauen Kugeln sind zu jedem Zeitpunkt symmetrisch zur roten, nur dadurch bleibt das Baryzentrum exakt auf dem Durchstoßpunkt der Z-Linie (Bewegungslinie der roten) durch die Ebene der Bahnen der blauen. Das ist Voraussetzung des Sitnikov-Systems, genau so von Florian beschrieben und sehr schön in der Animation visualisiert.
Auch wenn es nur ein theoretisches Modell ist, kann man sich doch mal versuchen vorzustellen, ob es geht?
Aber es veranschaulicht sich mir halt nicht.
Da aber knapp die Hälfte der bekannten Planeten an Doppelsternsystemen zu hängen scheint. …(steht hier)
https://www.noao.edu/news/2014/pr1406.php
frage ich mich, warum man denn genau ausschließen kann oder muss, das es so etwas gibt?
Es ist ja nun essentiell nicht berechenbar, aber mal angenommen es gäbe irgendwie stabile Zustände, wie bei einigen Lagrange Punkten gäbe es hier doch geradezu Planetenfallen? (Es ist ja noch Hilfe-1 und Hilfe-0 offen!:-)
Auf so einem Sitnikov Planet wäre übrigens in Summe heller, als auf allen anderen normalen Doppelsternplaneten egal ob P oder S – Typ…
oder? -> Hypothese-1 😉
(Anm.: Wenn die Stene normal leuchten und egal wie er sich dreht)
P oder S Doppelstern gibts hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Doppelstern
Ich denk mal das Planeten im Normalfall in einer Scheibe entstehen. Und die entstehungspunkte im Normalfall nicht auf der z geraden liegen.
Auch ein einfangen auf der geraden mit richtiger geschwindigkeit scheint wohl eher unwahrscheinlich.
Aber das System von Martin ist für SF echt cool.
Endlich mal gleich mit Planeten auf die „pösen“ schießen. 😉
Bleiben wir in unserer Ecke: Stichwort „Theia“ (plumpste ja vor längerer Zeit in die Erde um den Mond zu erzeugen.) Ei, warum eiert doch jetzt gleich die Erde so wie sie eiert und der Mond fliegt etwas schräg um uns? Das war wohl nicht ganz auf der Scheibe!
Aber weitere, ganz schlechte Nachrichten für die
reine Scheibenlehre:
Liste der …Jupitermonde, Uranusmonde, Neptunmonde, Saturnmodne bei Wikipedia anschauen – Da gibts rechts sofort Übersichten für die Bahnneigung in Winkeln. Alle diese Hunderte Monde haben jeweils bei 0 Grad ganz GROSSE Lücken. -> Da „scheibt“ m.E. nichts!
Es ist sogar, so, als ob extra NICHTS in einer Scheibe fliegt! bei Null grad immer große Lücken!
Noch schlimmer ist Uranus, der bringt mit seiner Rotation doch alles durcheinender!
Also „Erde ist Scheibe“ habe ich schonmal gehört aber „Im Kosmos spielt sich alles als Scheibe ab.“…habe ich Zweifel.
Man könnte sagen bei ca. 100Mrd Sternchen á 100 Mrd Galaxien dürfte es auch Abnormnalfälle geben sogar hier schon fast einer von ca. Acht?
Warten wir mal die Version 2 des Neunten Planetes ab. 🙂
@EchtSuperDasPodcast
Guckst Du hier. Dort verlinktes Video auch angucken. Im Prinzip gilt das für andere Objekte wie Uranus oder Pluto auch. Scheibe gerettet.
Es ist unvermeidlich, dass eine rotierende Gaswolke sich zu einer Scheibe formt, weil Teilchen, die nicht in der Scheibe rotieren, mit hoher Geschwindigkeit mit anderen Teilchen kolldidieren werden. Wenn Kollisionen häufig passieren, muss eine Scheibe entstehen, nur in einer solchen ist die Kollisionsrate niedrig und die Kollsionsgeschwindigkeiten sind klein genug, dass sich daraus größere Objekte bilden können.
In Abwesenheit von Kollisionen (Bsp.: Kugelsternhaufen, elliptische Galaxien) kommt keine Scheibe heraus. Bei elliptischen Galaxien weiß man, dass sie aus der Vereinigung von ehemals scheibenförmigen Spiralgalaxien entstanden sind und so gut wie kein Gas enthalten, das kollidieren und Sterne bilden könnte. Die Sterne selbst stoßen dabei nicht zusammen, zwischen denen ist genug Platz.
Ups, falscher Link. Der hier ist es:
https://www.slate.com/blogs/bad_astronomy/2016/12/01/new_study_indicates_moon_s_formation_was_more_energetic_than_previously.html
Das finde ich interessant, daß immer noch Sachverhalte auftauchen, wo ich noch nicht einmal den Begriff jemals gehört habe. Das Wort „Sitnikov-System“ ist mir bislang noch niemals begegnet – und dabei beschreibt der ja sehr interessante Überlegungen.