Im Zentrum unserer Erde sitzt eine Zeitmaschine. Oder besser gesagt: Unser Planet ist eine Zeitmaschine und sein Zentrum ist jünger als seine Oberfläche. Das klingt beeindruckend und das ist auch beeindruckend, aber genau genommen keine Neuigkeit. Darüber weiß man spätestens seit Albert Einsteins Relativitätstheorie Bescheid, die ja besagt, dass die Zeit unterschiedlich schnell vergeht, je nachdem wie man schnell man sich bewegt und wie stark man von der Gravitation beeinflusst wird. Und schon Anfang der 1960er Jahre hat der berühmte Physiker und Nobelpreisträger Richard Feynman darüber in seinen Vorlesungen erzählt. Er sagte damals, dass das Zentrum ein bis zwei Tage jünger sein sollte, als die Oberfläche. Seitdem wurde die Aussage oft wiederholt – aber anscheinend nie nachgerechnet. Das haben nun Ulrik Uggerhøj von der Universität Aarhus in Dänemark und seine Kollegen getan („The young centre of the Earth“) und dabei festgestellt, dass Feynman sich geirrt hat: Die Zeitmaschine ist sogar noch effektiver als gedacht und das Zentrum unserer Erde ganze 2,5 Jahre jünger als der Rest.
Die Grundlage des Phänomens ist mittlerweile Teil jeder Physik-Einführungsvorlesung: Aus Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie folgt die sogenannte gravitative Zeitdilatation. Eine Uhr läuft umso langsamer, je stärker das Gravitationsfeld ist, das sie umgibt. Entfernt man sich von der Erde und ihrem Gravitationspotential, vergeht die Zeit schneller. Astronauten, die sich beispielsweise in der Raumstation aufhalten, reisen so in die Zukunft. Der russische Kosmonaut Gennadi Iwanowitsch Padalka hat 878 Tage im All verbracht und ist von allen Menschen am weitesten in die Zukunft gereist (hier muss allerdings auch der Einfluss der hohen Geschwindigkeit berücksichtigt werden, mit der er sich um die Erde bewegt). Für ihn knapp 23 Millisekunden weniger vergangen als für den Rest. Ein fiktiver Beobachter im Kern der Erde, der einem stärkeren Gravitationspotential ausgesetzt ist, würde den gleichen Effekt beobachten. Die Oberfläche bewegt sich schneller durch die Zeit als der Kern und befindet sich damit in der Zukunft. Oder, wenn man die Sache von außen betrachtet: Der Kern ist jünger als die Oberfläche.
Feynman, ein großer Freund von schnellen Abschätzungen hat dieses Phänomen in seiner Vorlesung vorgestellt und den Zeitunterschied mit etwa zwei Tagen überschlagen. Uggerhøj und seine Kollegen dachten, das es keine schlechte Idee sein könnte, das mal genau nachzurechnen. Und stellten dabei fest, dass der tatsächlich Wert bei 2,49 Jahren liegt. Eine Uhr im Inneren der Erde geht zwar nur um wenige Nanosekunden langsamer aber im Laufe der 4,5 Milliarden Jahre die unser Planet schon existiert, hat sich das aufsummiert…
Wie gesagt: Die Erkenntnis an sich ist höchst beeindruckend, aber nicht neu. Uggerhøj und seine Kollegen beschäftigen sich in den Schlussfolgerungen ihres Artikels daher auch nicht mit der Physik, sondern eher der Frage, wieso Feynmans falscher Wert so lange Bestand hatte und in zahlreichen Artikel, Büchern und Vorträgen reproduziert wurde. Es könne nicht daran liegen, dass niemand in der Lage gewesen wäre, das nachzurechnen (und die Physik/Mathematik die dahinter steckt ist wirklich nicht allzu kompliziert). Sie sind der Meinung es handle sich hier um einen „proof by ethos“. Jedem war klar, dass der Effekt existiert und Feynman wurde von seinen Kollegen so sehr wertgeschätzt, das man seinen Angaben ohne weitere Prüfung vertraute.
Interessanterweise wäre wohl Feynman selbst der letzte gewesen, der sich so etwas gewünscht hätte. Die Berechnungen, die am Ende in dem Ergebnis münden sollte, für das er seinen Nobelpreis bekam, hatten lange Zeit kein brauchbares Resultat geliefert. Sie passten nicht zu anderen Berechnungen die aus experimentellen Daten gewonnen wurden. Diese experimentellen Ergebnisse wurden in der Fachwelt allgemein anerkannt, waren aber falsch. Erst als Feynman das alles selbst noch einmal nachrechnete, fand er den Fehler und konnte zeigen, dass seine Theorie vernünftige Vorhersagen machte. „Seit damals verlasse ich mich nicht mehr auf das, was irgendwelche ‚Experten‘ sagen. Ich berechne alles selbst“, war seine Lehre aus dem Ereignis.
Für Uggerhøj und seine Kollegen ist die Geschichte von Feynman und dem jungen Kern der Erde ein ideales Beispiel, das in Schulen und Universitäten verwendet werden sollten. Man lernt dabei nicht nur eine höchst faszinierende Tatsache über unseren Planeten und die zugrunde liegende Physik. Sondern auch, dass selbst große Genies sich irren können und man nichts einfach nur deswegen glauben soll, weil es von einer ausreichend angesehen Person stammt…
Witziger Artikel. Jetzt fehlt nur noch die Berechnung von ‚Reißkräften‘ auf das Eisen aufgrund dieser Differenz. Daraus abgeglitten die Wirkung auf einzelne Quarks und schon haben wir eine vereinigte Theorie.
Wie ist das eigentlich mit der Aufenthaltswahrscheinlichkeit – wenn ein Teilchen ‚gleichzeitig ‚ im Zentrum und weiter weg ist, altert es ja auch unterschiedlich?
Das ist mir jetzt nicht so recht klar geworden. Gut, die Idee dahinter ist wohl die, dass in der Nähe großer Massen die Zeit langsamer verläuft als weiter davon entfernt – soweit alles klar nach Einstein. Nur wo kommt die große Masse im Erdinneren genau her? Heben sich die Massen nicht weitestgehend auf? Mit anderen Worten: Ein Beobachter in seiner hitze- und druckbeständigen Beobachtungskanzel genau im Mittelpunkt der Erde würde in Mikrogravitation schweben können, weil er aus allen Richtungen von der Masse der Erde gleichstark angezogen wird. (Der Versuch, den Effekt mit Hilfe von Raumkrümmungen zeichnerisch darstellen zu wollen, wäre bestimmt lustig!) Folglich müsste die Zeit für ihn sogar etwas schneller vergehen als für seine Zeitgenossen an der Erdoberfläche.
Und jetzt kann mir gerne einmal irgendjemand meinen Denkfehler erklären…
@Captain
Ich bewege mich jetzt auf sehr dünnem Eis, aber ich denke, dass die gravitative Zeitdilation nicht von der Richtung der Gravitation abhängt. D.h. auch wenn sich im Kern die Schwerkräfte aus allen Richtungen aufheben, sind sie dennoch vorhanden und bestimmen in ihrer Gesamtheit die Zeitdilatation. Im Paper sieht man an Abb. 3, dass die Dilatation zum Kern hin stetig zunimmt, auch wenn die mechanische Wirkung der Gravitation in ca. 3500km Tiefe ein Maximum hat und dann abnimmt. (Abb. 2).
Kann aber auch sein, dass ich völligen Blödsinn schreibe…
Das Jahr definiert sich ja an Sonnenumläufen. Da haben Zentrum und Oberfläche genau gleich viele hinter sich, können also nicht unterschiedlich viele „Jahre“ alt sein. Ergo: Nun brauchen wir eine „Sternzeit“. =)
Sehr schöner Artikel! Danke!
@robsn: „Ergo: Nun brauchen wir eine “Sternzeit”“
Die gibts schon: https://scienceblogs.de/astrodicticum-simplex/2010/07/17/wie-misst-man-die-sternzeit/
Und zumindest die offizielle Zeiteinheit (Sekunde) ist über Atomübergänge definiert; dauert also im Kern tatsächlich nicht so lange wie auf der Oberfläche.
@Captain E: Es kommt vor allem auf die Veränderung in der Dichte an.
@Florian: „Die gibts schon:“
Wow – danke! Auch ein sehr schöner Artikel.
@CaptainE
Wie genau der Zeitverlauf im inneren einer Kugel aussieht, habe ich hier erklärt:
https://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2011/02/18/wie-man-die-raumzeit-krummt-teil-vi/
Die räumliche Krümmung geht im Inneren wieder auf Null zurück (also die Längen von Maßstäben), die zeitliche aber nicht.
Bin mal gespannt, wie lange es dauert, bis wieder der Spinner mit seinen Uhren ankommt und vorrechnen will, daß Uhren auf einem Berg mehrere Stunden vorgehen müßten, wenn die RT auch nur annähernd korrekt wäre … hat er in den letzten Jahren schon öfter mal gebracht.
Es wäre interessant zu wissen, wie es zu dem falschen Wert von ein bis zwei Tagen gekommen ist.
Für den vereinfachen Fall mit homogener Dichte im Inneren der Erde zeigt eine einfache Dimensionsanalyse schon, dass der zeitliche „Steckungsfaktor“ eine dimensionslose Funktion des Quotienten aus dem Schwarzschildradius der Erde und ihrem Radius sein muss. Und die einfachst denkbare sinnvolle Funktion (f(x)=x) liefert schon einen Wert in der richtigen Größenordnung (9mm/6000km * 4.5 Milliarden Jahre = 7 Jahre); die vollständige Rechnung produziert nur noch einen Vorfaktor 1/4.
Wenn man gar nichts rechnet, bekommt man also schon einen sehr viel besseren Wert als „ein bis zwei Tage“. Vielleicht hat irgendjemand „Tage“ und „Jahre“ verwechselt?
„Und stellten dabei fest, dass der tatsächlich Wert bei 2,49 Jahren liegt. Eine Uhr im Inneren der Erde geht zwar nur um wenige Nanosekunden langsamer aber im Laufe der 4,5 Milliarden Jahre die unser Planet schon existiert, hat sich das aufsummiert “
Wie wird das eigentlich berechnet.
Ausgehend von den 2,49 Jahren komme ich auf auf einen höheren Wert als einige Nanosekunden:
2,49 Jahre sind 7.744896e+15 Nanosekunden.
Macht bei 4,5 Milliarden Jahren pro Jahr 1721088 Nanosekunden, entspricht 1,72.. Millisekunden.
Was rechne ich da falsch?
@IO: Vielleicht hab auch ich mich verrechnet? Oder was verwechselt (im paper werden zwei Modelle der Erde betrachtet; einmal ein homogenes und einmal ein differenziertes). Ich bin grad unterwegs und kanns nicht prüfen; vielleicht kann jemand mal ins paper schauen und nachsehen…
Ich bin ja nur Laie was das Thema betrifft:
Ist aber nicht im Erdmittelpunkt die Gravitation nicht 0 und daher die Zeitdifferenz dann doch wieder anders als im umgebendem Kern?
@Khaanara:
Anscheinend nicht…
Obwohl sich dort die Kräfte der Graviation aus allen Richtungen gegenseitig aufheben, sollte der Betrag der Graviation dort trotzdem nicht 0 sein.
@IO:
Naja, die Frage ist, was Florian damit genau aussagen wollte. Die relative „Geschwindigkeit“ von zwei Uhren ist ja selber keine Zeit, sondern eine dimensionslose Zahl. Pro Sekunde geht eine Uhr im Erdinneren um einen Betrag langsamer, der in der Größenordnung von Nanosekunden liegt. Pro Jahr macht das dann etwas im Bereich von Nano-Jahren ;).
@Khaanara:
Es kommt nicht auf die Stärke der Erdanziehungskraft an, sondern auf das Gravitationspotential.
@Polymerase
Im Zentrum schon. In einer Hohlkugel sogar überall.
Wie uns aber Martin Bäker oben erklärt hat, vergeht nach der ART die Zeit im Zentrum der Erde trotzdem langsamer (was ich auch nicht vermutet hätte).
Krasser Schei…., ähm, meine natürlich: Echt nice! 🙂
Habe ich noch nie darüber nachgedacht…..
@Alderamin: Das lässt sich doch aber aus der bekannten Grafik (die so aussieht wie das ausgebeulte Gummituch) ableiten. Diese Krümmung betrifft Raum und Zeit und ist beim Zentrum der Masse am extremsten. (Ich vermeide ‚am größten‘ zu sagen, weil irgendwo ging die Zeit negativ rein.)
Ich glaubs trotzdem nicht.
Hier wird einfach das Potential nach Newton genommen und Zeitdilatation draufgelegt.
Das Potential „von draußen“ führt aber zu Bentleys Gravitationsparadox.
Wie sieht das in einer post-Newton-Approximation nach ART aus, also „korrigiert“.
Im Artikel hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen, wenn Herr Gennadi Iwanowitsch Padalka in die Zukunft gereist ist müssten für ihn 23 Millisekunden *mehr* verfangen sein, nicht weniger wie im Artikel steht, oder?
@Michael: Nein, das ist schon richtig. Für Gennadi sind 23 Millisekunden weniger (als für alle anderen auf der Erde) vergangen, um im „jetzt“ anzukommen.
@Michael, Flandry: Ein bisschen missverständlich ist die Formulierung im Artikel schon. Die beiden Effekte (Zeitdilatation im Gravitationsfeld und Zeitdilatation durch hohe Geschwindigkeit) sind hier entgegengesetzt. Wenn ich mich bei meiner kurzen Überschlagsrechnung nicht vertan habe, sind für Padalka in den 878 Tagen durch das geringere Gravitationsfeld etwa 3ms mehr, durch die hohe Geschwindigkeit aber etwa 26ms weniger vergangen. Macht zusammen die im Artikel erwähnten 23ms.
Wenn man über das Äquivalenzprinzip zwischen lokaler Gravitationsbeschleunigung und einer normalen Beschleunigung argumentiert, kann man die grav. Zeitverzoegerung / Rotverschiebug in führender Ordnung als normale Dopplerverschiebung behandeln, die Proportional zu Beschleunigung * Abstand ist. Dann wird klar dass sich der Effekt der Rotverschiebung bzw. Zeitverlangsamung aufaddiert, solange man in Richtung Gravitationskraft geht. Da auch in der Erde drinne die Gravitationsbeschleunigung nach innen zeigt, entspricht weiter runter gehen gemäss Äquivalenzprinzip dem Herabsteigen in einem nach oben beschleunigten Raumschiff, wodurch man von oben im Raumschiff ausgesandtes Licht immer blauverschobener sieht. Also läuft die eigene Zeit langsamer als oben.
In erster Näherung bekommt man
@IO
A) Du rechnest mit dem kaufmännischen Jahr, 360 Tage
B) Du hast dich um eine 10er-Potenz vertan, e+16 wäre laut meinem Excel korrekt
Macht ca. 17,5.. Millisekunden pro Jahr (ohne Schaltsekunden), im Ergebnis sind das also sogar einige Nanosekunden mehr.
Aber auch hier gilt, „dass selbst große Genies sich irren können und man nichts einfach nur deswegen glauben soll, weil es von einer ausreichend angesehen[en Software] stammt… „. Rechne besser selbst nochmal nach.
@Joker
Danke für die Richtigstellung:
Ich hatte es mit Google berechnet. „2,49 Jahre in Nanosekunden“ eingegeben und dann rüberkopiert. Merkwürdig, dass da das kaufmännische Jahr herauskam und das die Zehnerpotenz auch noch schiefging.
Wenn ich dasselbe jetzt eingebe kommt 7,8525e+16 heraus. Und am Ende 17,45 Millisekunden/Jahr der Erdgeschichte.
@Alex K:
Jetzt lass uns aber nich dumm sterbern bitte … :-).
@PDP10
Sorry, das war wohl etwas zu verkürzt 🙂
Die Idee hinter dem Äquivalenzprinzip ist, dass es lokal nicht unterscheidbar ist, ob man sich in einem Schwerefeld mit Fallbeschleunigung befindet oder in einer mit der gleichen Beschleunigung nach oben getriebenen Rakete.
Sendet man in so einer Rakete einen Lichtstrahl von der Spitze zum Heck, ist die Rakete schneller geworden, wenn das Licht unten ankommt, als sie beim losschicken des Lichtstrahls war – weil sie ja in der Zwischenzeit beschleunigt. Deshalb wird der Beobachter im Heck das Licht etwas blauverschoben sehen. So kann man über das Äquivalenzprinzip herleiten, dass Licht blauverschoben wird, wenn es in Richtung Gravitationskraft geschickt wird, und rotverschoben, wenn es umgekehrt entgegen der Gravitationskraft geschickt wird.
Aus der Rot/Blauverschiebung folgt aber auch direkt die relative Zeitverlangsamung, da keine Lichtwellen „verloren gehen“. Hat für den Beobachter unten das von oben kommende Licht eine höhere Frequenz (blauverschoben), bedeutet das, dass oben mehr Wellen abgestrahlt wurden, und das bedeutet wiederum, dass oben mehr Zeit vergangen ist.
Da dieses Argument immer greift, wenn Schwerkraft da ist, bedeutet das, dass die Zeit weiter verlangsamt, wenn man entlang der Schwerkraft den Ort wechselt, egal ob im Erdinneren oder außen. Dass die Schwerkraft im Erdinneren langsam schwächer wird, bedeutet nur, dass das, was zur Zeitverlangsamung hinzukommt, weniger wird. Solange wir aber in Richtung der Erdbeschleunigung wandern, wird die Zeitverlangsamung mehr.
Erst wenn man den Erdmittelpunkt überschreitet und wieder *entgegen* der Schwerkraft hoch geht, dreht sich der Effekt rum und die Zeit geht wieder nach und nach schneller – dies entspricht nämlich gemäß Äquivalenzprinzip dem Aufsteigen in einer beschleunigten Rakete.
@Herr Senf: Gibts noch ein anderes Paradoxon von Bentley? Ich kenne nur das aus der Kosmologie, und da sehe ich überhaupt keinen Zusammenhang zu diesem Problem. Und warum sollte man eine Post-Newton-Approximation brauchen? Das Gravitationsfeld der Erde ist so schwach (sieht man ja am Ergebnis: 2,5 Jahre Differenz auf 4,5 Milliarden Jahre), dass die nächst höhere Ordnung wirklich keine Rolle spielt. Und außerdem sind für den statischen isotropen Fall die Einsteinschen Feldgleichungen ja exakt lösbar, eine Approximation wäre also selbst bei stärkeren Feldern nicht nötig.
@Alex: ich hab in #19 geschrieben, daß ich dem arxiv-Beitrag nicht trau.
Google mir schon 2 Tage die Finger wund „ART+Hohlkugel“, Fehlanzeige.
Also erstmal Verständnisfragen vor Meinungsbildung:
Ist die Raumzeit in einer Hohlkugel flach oder krumm?
Eine Vollkugel besteht auch nur aus Matroschka-Hohlkugeln.
Im Zentrum platzieren wir eine Uhr, ist dort die Raumzeit krumm?
Was sollen die darüber liegenden Schalen beeinflussen, wenn ich jetzt immer mehr Universum drüber packe, geht die Uhr dann immer langsamer – Bentley?
Das mit dem Newton-Potential funktioniert nur außerhalb der Kugel, innerhalb der Kugel darf ich für die „Betrachtung nach ART“ nur die unterliegenden Massenschalen nehmen.
Oh, das ist schon fast wie Abschlußmeinung, wer sieht es anders z.B. FF oder MB.
Die Raumzeit innerhalb einer Hohlkugel ist flach.
Das folgt als Speziallfall aus dem Birkhoff-Theorem der ART.
https://en.wikipedia.org/wiki/Birkhoff%27s_theorem_(relativity)
Die Raumzeit innerhalb einer Kugel ist eines der wenigen Probleme der ART, für das es eine analytische Lösung gibt.
Nennt sich die in der Regel innere Schwarzschild-Lösung. Für den Spezialfall einer Flüssigkeitskugel aus einer inkompressiblen Flüssigkeit würde diese sogar schon 1916 eben von Schwarzschild aufgestellt.
(Häufig ist mit innerer Schwarzschild-Lösung aber auch etwas anderes gemeint, nämlich die Raumzeit innerhalb des Schwarzschildradius bei schwarzen Löchern.)
Sollte man in fast jedem Script oder Lehrbuch zur ART finden, damit beschreibt man dann zum Beispiel üblicherweise Neutronensterne.
Die Veröffentlichung hab ich mir jetzt nicht richtig angeschaut, aber das ist eigentlich eine echt einfache Rechnung, die überhaupt nicht strittig ist. Würde sogar ich hinkriegen.
Die Schwierigkeit liegt hauptsächlich darin, anständige Werte für die Abhängigkeit der Dichte der Erde vom Radius zu schätzen.
Für die Größenordnung des besprochenen Effekts ist das aber ziemlich egal und ein exakter Wert ist ja völlig unerheblich.
@Niels
Jo. Wenn man den linearisierten Ausdruck für die Zeitdilatation bei einem infinitesimalen Höhenschritt dr,
g*dr/c^2
vom Erdmittelpunkt r=0 zur Oberfläche r=6370 km aufintegriert und dabei eine linear zunehmende Fallbeschleunigung g=g_oberfläche * (r/r_max) einsetzt, bekommt man ziemlich genau den Wert, den die Veröffentlichung für eine homogene Erde angibt, ca. 1.5 Jahre. Sie bekommen für eine realistische Erde also ein ganzes Jahr mehr Unterschied. Die Effekte nächster Ordnung sind aber in der Tat völlig wurscht. Da macht es mehr Unterschied, ob man sich minimal in der Zusammensetzung des Erdkerns verschätzt hat.
@Herr Senf:
Flach, also in dem Sinn dass der Riemann-Tensor dort gleich Null ist.
In linearer Näherung auf jeden Fall. In der vollen ART bin ich mir nicht sicher (bzw. da hängt das evtl. davon ab, was genau man meint), weil z.B. die Interpretation des Radius und der Dichte (rechte Seite der Feldgleichungen) von der Metrik abhängt. Einfach addieren kann man die Hohlkugel-Lösungen jedenfalls nicht.
Die Raumzeit ist dort flach, aber die Uhr geht langsamer als eine Uhr außerhalb der Hohlkugel. Relevant ist hier nicht die Krümmung (in etwa die zweite Ableitung des Potentials), sondern die 00-Komponente der Metrik (in etwa das Potential).
Das verstehe ich nicht.
Warum?
Was bedeutet das?
@alex
Das ist meiner Ansicht nach falsch.
Riemann-Tensor identisch Null ist doch äquivalent zum Vorliegen der Minkowskimetrik, oder? (Bzw. man kann ein Koordinatensystem finden, in dem…)
Vielleicht stehe ich gerade auf dem Schlauch, aber die Raumzeit im Zentrum ist doch ganz sicher nicht flach?
Da liegt doch keine Minkowski-Metrik vor?
Der Raum ist dort ungekrümmt, die Zeit allerdings nicht.
Schreibst du doch auch selbst: „die 00-Komponente der Metrik“ ist nicht 1.
@Niels
Dass die 00-Komponente nicht 1 ist, muss nicht heißen, dass dort irgend etwas gekrümmt ist. Nach Birkhoff sollte die Metrik im Inneren konstant sein. Auch wenn sie konstant =!=1 ist, ist sie flach.
„(Bzw. man kann ein Koordinatensystem finden, in dem…)“
Es sollte nach meinem Verständnis nicht möglich sein, ein Koordinatensystem zu finden, in dem der Riemann-Tensor verschwindet, wenn er vorher nicht verschwindet, da es sich bei „anständigen“ Koordinatenwechseln an jedem Punkt um lineare nicht-singuläre Abbildungen handelt. Die Christoffel-Symbole kann man zum verschwinden bringen und damit in ein System gehen, in dem die Gravitations“kraft“ verschwindet. Das funktioniert aber nur, weil die Christoffel-Symbole im Gegensatz zu Tensoren nicht linear transformieren.
@Niels:
Ja, Riemann-Tensor gleich Null ist äquivalent zur Existenz eines Koordinatensystems in dem die Metrik Minkowski wird. Und in einer Hohlkugel gibt es auch ein solches Koordinatensystem; z.B. das Ruhesystem der Uhr im Mittelpunkt (entsprechend ausgedehnt).
Als ich den Kommentar schrieb, verwendete ich in Gedanken ein Koordinatensystem, bei dem die 0. Koordinate die Eigenzeit einer Uhr ist die im Unendlichen ruht. Dann kann man im Inneren der Hohlkugel z.B. eine Metrik der Form diag(a, -b, -b, -b) bekommen, wobei a und b konstant sind. Und das ist zwar nicht Minkowski, aber auch ziemlich offensichtlich flach.
@Alex K
Nach Birkhoff muss die Metrik im Innern der Hohlkugel aber die Minkowski-Metrik sein!
Sorry, ich dachte es wäre klar, was gemeint ist.
Natürlich kann man kein Koordinatensystem finden, in dem ein Tensor Null ist, wenn er in einem anderen Koordinatensystem ungleich Null ist. Sonst wäre die Größe schließlich kein Tensor.
Gemeint war:
Ein verschwindender Riemann-Tensor ist äquivalent dazu, dass man ein Koordinatensystem finden kann, in dem die Metrik die Minkowski-Metrik ist.
@alex
Die äußere Raumzeit einer Hohlkugel ist aber doch die asymptotisch flache Schwarzschild-Raumzeit.
Für große Abstände also die Minkowski-Raumzeit.
Und nach Birkhoff ist die Raumzeit im Inneren ebenfalls die Minkowski-Raumzeit.
Damit vergeht für im Unendlichen ruhende und für sich im Inneren befindliche Uhren die selbe Eigenzeit.
Ist so eine Metrik der Form diag(a, -b, -b, -b) nicht einfach die Minkowski-Metrik in ein bisschen doofen Koordinaten?
Ganz einfaches Beispiel: Wenn ich Zeit in Jahren und Abstände in Zoll messe, wird aus diag(1, -1, -1, -1) doch schon diag(a, -b, -b, -b).
Soweit ich es verstehe gilt:
Krümmungtensor verschwindet = flache Raumzeit = Minkowski-Raumzeit = Koordinatensystem existiert, in dem die Metrik die Minkowski-Form annimmt.
Der Witz bei flacher Metrik ist doch eigentlich nur die Topologie:
Eine Minkowski-Raumzeit kann zum Beispiel einen euklidischen dreidimensionalen Unterraum besitzen oder einen flachen dreidimensionalen Torus.
(Für flache riemannsche 2-Mannigfaltigkeiten gibt es bekanntlich die Möglichkeiten Ebene, Zylinder, Möbiusband, 2-Torus, Kleinsche Flasche, …)
Im Endeffekt läufts darauf hinaus, wie man die vergangene Zeit an zwei Orten vergleicht. Einfach nur g00 zu vergleichen ist im Endeffekt zu naiv – man hat da ein Definitionsproblem was man damit ueberhaupt meint – es gibt ja keine absolute Master clock fuer das ganze Universum, weil man lokal immer die Zeitkoordinate umskalieren kann. Lichtpulse von A nach B schicken und ihren an beiden Orten mit der lokalen Metrik gemessenen Zeitabstand checken ist eine Möglichkeit.
@Niels:
Ja. Aber der Teil
stimmt nicht. Um es flapsig zu sagen: Die beiden Minkowski-Stücke sind „krumm“ zusammengeklebt.
Exakt. Und weil die Zeitkoordinate in diesem Fall die Eigenzeit im Unendlichen ist, heißt das, dass eine Uhr im inneren mit einer anderen Rate läuft.
Alex Ks Einwand ist natürlich auch zu beachten. Strenggenommen kann man zwei Uhren nur dann vergleichen, wenn sie am selben Ort sind, oder man ein Signal zwischen ihnen schickt. Der reine Vergleich von g00 ist nur dann zulässig, wenn das quasi schon in die Wahl des Koordinatensystems eingebaut ist (z.b. es möglich ist, ein Signal von Innen, z.b. bei t=0, r=0, nach außen, z.B. t=t1, r=R, zu schicken, wobei t1 irgendwie sinnvoll beschränkt ist (Details habe ich mir noch nicht überlegt)). Und das sollte in dem von mir oben skizzierten Koordinatensystem der Fall sein.
Wenn man hingegen die Koordinaten so wählt, dass die Metrik innen diag(1,-1,-1,-1) ist und im unendlichen asymptotisch auch, dann kann man kein solches Signal schicken. Innen verläuft die Zeit langsamer, d.h. es gibt eine Koordinatenzeit T, so dass t=T,r=0 in der absoluten Zukunft von t=T,r=R liegt.
@Alex K
Doch.
Dafür verwendet man in der Komsologie/Astronomie die Eigenzeit eines mit der Expansion mitbewegten Beobachters, also das dt^2 aus der Standardkoordinatenformulierung der FLRW-Metrik.
Experimentell also die Eigenzeit eines Beobachters, für den die Hintergrundstrahlung perfekt isotrop ist.
In diesen Zeitkoordinaten gibt man doch auch das Alter des Universums an.
Solche mitbewegten Beobachter sind dadurch ausgezeichnet, dass die für sie die vergangene Eigenzeit die Größtmögliche ist.
Dadurch wird dann auch diese „Zeitskala“ ausgezeichnet.
.
@alex
Sicher?
Von welchen Parametern hängt es denn dann ab, wie „krumm“ das Ganze ist?
Wie würde da eine konkrete Rechnung aussehen?
Hast du eine Quelle?
Die Zeitkoordinate in Schwarzschild-Koordinaten, oder was ist gemeint? Man kann doch prinzipiell ein beliebiges Koordinatensystem wählen?
Das weil erschließt sich mir jedenfalls überhaupt nicht, könntest du das bitte nochmal ausführlicher und mit anderen Worten ausführen?
Das ist zwar im Allgemeinen für die ART richtig, spielt hier aber keine Rolle, da sowohl die Schwarzschild-Raumzeit als auch die Minkowski-Raumzeit statische Raumzeit sind.
In diesem Spezialfall ist es nämlich doch kein Problem.
Die Eigenschaft statisch ist ja darüber definiert, dass die Raumzeit ein hyperflächenorthogonales zeitartiges Killingvektorfeld besitzt.
Mit Hilfe dieses zeitartigen Killingvektorfeldes kann man dann hier einen Zeitmaßstab definieren, mit dessen Hilfe man Uhren vergleichen kann.
@Niels:
Vom Energie-Impuls-Tensor in der Kugelschale.
Nichts verlinkbares. Die Rechnung an sich ist nicht besonders schwierig und dürfte ähnlich aussehen wie Rechnungen zu stark vereinfachten Sternmodellen aus innerer und äußerer Schwarzschildlösung (und die findet man ja oft). Wichtig ist halt wie so oft in der ART dass man aus dem Ergebnis die richtigen Schlüsse zieht.
Ja, aber experimentell beobachtbare Ergebnisse können davon natürlich nicht abhängen.
Hm. Für mich ist nicht direkt offensichtlich, dass das Killingvektorfeld notwendigerweise dafür geeignet ist, bzw. dass man damit automatisch die selben Ergebnisse erhält wie mit einem experimentellen Uhrenvergleich (und das ist ja was man eigentlich möchte). Welche Ergebnisse erhält man dann für Situationen in denen ein Uhrenvergleich nicht möglich ist (z.B. eine der Uhren ist hinter dem Ereignishorizont eines schwarzen Lochs), die aber trotzdem statisch sind? Wäre interessant das mal durchzurechnen, am besten in unterschiedlichen Koordinatensystemen.
@alex
Ah, da liegt das Problem.
Ich dachte, wenn wir von Hohlkugel sprechen, bedeutet das, dass sich im Kugelinneren ein Vakuum befindet.
Deswegen eben „hohl“.
Ich bin also die ganze Zeit von verschwindendem Energie-Impuls-Tensor im Inneren ausgegangen.
Solche Situationen kann es nicht geben.
Die Raumzeit hinter dem Ereignishorizont ist ja auch nicht statistisch. Sie ist nicht einmal mehr stationär (Existenz eines zeitartiges Killingvektorfeld, das aber nicht hyperflächenorthogonal sein muss), sondern eben dynamisch.
Aus dem zeitartigen Killingvektorfeld außerhalb wird am Ereignishorizent ein lichtartiges Killingvektorfeld, innerhalb wird es dann raumartig.
(Das ist die mathematisch exakte Beschreibung des populärwissenschaftlichen Sachverhaltes „am Ereignishorizont tauschen Raum und Zeit ihren Charakter“.)
Deswegen kann das mit der Zeitmessung und dem Uhrenvergleich nicht mehr klappen.
Das war vielleicht eine ungenaue Formulierung: Mit Kugelschale meinte ich den Bereich im äußeren des Objekts, in dem Materie vorhanden ist. Also T = 0 für r < R und r > R+δ und T ≠ 0 dazwischen. Man beachte den Unterschied zwischen Kugelschale und Kugel (sphere vs. ball).
Ich habe noch nie darüber nachgedacht, wie man die gravitative Zeitdilatation über das (zeitartige) Killing-Vektorfeld herleiten würde. Es klingt aber plausibel.
Wenn wir ein Photon betrachten, das von A nach B geht und dabei rotverschoben wird, ist die Erhaltungsgröße ja offenbar nicht die Energie, sondern die Energie / der lokale Dilatationsfaktor. Da die Erhaltungsgröße über das Killingfeld durch
~ sqrt(g) T_(0,mu) K^mu
gegeben ist, kann man vielleicht aus der Ortsabhängigkeit des Killingfeldes die Skalierung der Erhaltungsgröße und damit die Zeitdilatation herausziehen. Ist das richtig gedacht, oder zu kompliziert?
@Alex K
Müsste richtig sein
Ich würde aber verwenden, dass sich die Metrik entlang der Richtung eines Killingvektors nicht verändert.
Also:
Wenn γ(t) eine Geodäte ist, X ein Killing-Vektrofeld und Z ein Tangentialfeld entlang der Geodäten (also Z = γ'(t)), dann ist g(Y,Z) konstant entlang der Geodäten.
Also gilt (d/dt)[g(Y,Z)] = 0.
Wenn man in diese Gleichung das zeitartige (hyperflächenorthogonale) Killingvektorfeld einsetzt, dass ja zur Energieerhaltung gehört, bekommt man ziemlich problemlos die Zeitdilatation.
@alex @Alex K
Jetzt noch mal der Reihe nach, ich bin gerade verwirrt, wer wovon ausgeht.
Welchen Aussagen stimmt ihr jeweils zu?
A1) Der Krümmungstensor im Inneren einer Hohlkugel verschwindet.
Die Raumzeit ist dort also ungekrümmt/flach.
A2) Unendlich weit weg von der Hohlkugel hat die Metrik die Form diag(1, -1, -1, -1), im Inneren der Hohlkugel hat sie die Form diag(a, -b, -b, -b) mit a ungleich und b ungleich 1.
A3)
Eine Uhr innerhalb der Hohlkugel geht langsamer als eine unendlich weit von ihr entfernte.
A4) Wie viel langsamer sie geht, hängt vom Energie-Impuls-Tensor der Kugelschale (also ihrer Dichtefunktion, weil alle andere Einträge des Tensors keine Rolle spielen) ab,
B1) Der Krümmungstensor (der Kretschmann-Skalar) im Zentrum einer Kugel (im Zentrum der Erde/ eines Neutronensterns) verschwindet nicht.
Die Raumzeit ist dort also gekrümmt.
B2) Allerdings ist im Zentrum nur die Zeit gekrümmt, der Raum ist ungekrümmt.
Meiner Meinung nach ist A1), B1) und B2) richtig.
A2) bis A4) sind falsch, die Uhren messen die selbe Eigenzeit.
Wie schauts bei euch aus?
Bei mir schauts noch gar nicht aus, im Zweifel für ??? …
A1) Hohlkugel Raumzeit ungekrümmt – ist ok
B1+2) im Innern einer Vollkugel kommt im Tensor der Druck dazu – also ok
A2-4) ? in aller Literatur, wo ich was gefunden hab, gab es keine näheren Erklärungen „aus der ART“ heraus, nur immer die folgende Feststellung über das Potential
– in der Hohlkugel ist das Potential Φ = const ≠ 0, heißt ZD wegen
– die „Rolle“ des Potentials spielt im Schwarzschild-System g{00}
.. von daher auch g{00} = const und ungleich ≠ g{00}Ioo im Unendlichen
Meiner Meinung nach sind A1, A2, A3, A4, B1 richtig. Bei B2 bin ich mir nicht sicher (ist schon zu lange her dass ich das gerechnet hab), vermutlich stimmt aber auch das.
Wenn du meinst, dass z.B. A2 nicht richtig ist, wie sieht dann deiner Meinung nach die Metrik in der Kugelschale und im Inneren der Hohlkugel aus? Dass außen Schwarzschild oder etwas äquivalentes ist, ist hoffentlich unstrittig.
Auch sollte unstrittig sein, dass es außerhalb der Hohlkugel Zeitdilatation gibt, also dass z.B. eine auf der Oberfläche der Hohlkugel ruhende Uhr langsamer geht als eine Uhr im unendlichen. Geht also deiner Meinung nach eine Uhr die direkt unter der Kugelschale ruht schneller als eine Uhr die außen auf der Kugelschale ruht (weil die innere Uhr ja deiner Meinung nach gleich schnell geht wie die Uhr im unendlichen)?
„Far out, man“
„Outta sight, man“
lol
abo
@alex
Ich denke, im Inneren der Hohlkugel gilt genau wie im unendlich weit Entfernten
g=diag(1, -1, -1, -1).
Ja, der Meinung bin ich.
(Die Uhr direkt unter der Kugelschale geht doch genau wie die Kugel im Zentrum des Hohlraumes und genau wie alle anderen Uhren an jeder beliebigen Stelle im Inneren, oder siehst du das anders?)
Wobei ich mir jetzt aber nicht ganz sicher bin, ob man dann nicht mit Stetigkeitsbedingungen Probleme bekommt.
@Herr Senf @alex
Hm, aus irgendwelchen grundsätzlichen Prinzipien kann ich meine Ansicht aber gerade nicht herleiten, kann also auch Unsinn sein.
Müsste man wohl man ganz konkret ausrechnen, dazu bin ich aber ehrlich gesagt gerade zu faul.
Ich kann mich auch nicht erinnern, so eine Rechnung schon mal irgendwo gesehen zu haben.
@Niels:
Hm. Man kann natürlich ein Koordinatensystem konstruieren in dem das der Fall ist. Aber dann dürfte meiner Meinung nach im Übergangsbereich (z.B. dort wo Masse vorhanden ist) die Metrik sehr unschön werden. Also z.B. mit nicht verschwindendem g01. Und das könnte es schwierig machen das zeitartige Killing-Vektorfeld zu konstruieren.
Ich bin auch der Meinung dass alle (ruhenden) Uhren im Inneren gleich schnell gehen. Und Stetigkeit ist auch der Grund, warum ich denke dass sie langsamer gehen als Uhren im Unendlichen. Wenn man die Schale bei fester Gesamtmasse infinitesimal dünn macht (kann sein dass es schwierig ist, das formal exakt hinzubekommen; aber fürs Prinzip sollte das im Fall schwacher Felder ausreichen, d.h. in linearer Näherung, und dann ist es kein Problem), sollte die Metrik überall stetig sein. Und dann sollten Uhren direkt unter der Schale gleich schnell laufen wie Uhren direkt oberhalb der Schale.
@alex
Sorry, ich oder mein Feedreader haben deine Antwort verpennt.
Ich bin mir nicht sicher, ob das ein valides Argument ist.
Wenn man die Schale bei fester Gesamtmasse dünn genug macht, bekommt man Probleme damit, dass sich Massenteile innerhalb ihrer eigenen Schwarzschild-Radien befinden.
Dann muss man sich über Stetigkeitsprobleme wirklich nicht wundern.
Wenn man das aber berücksichtigt und darauf achtet, dass man oberhalb dieser Schwelle bleibt, kommt es mit der Stetigkeit möglicherweise gerade hin.
Keine Ahnung.
Ist das in der Literatur wirklich nirgends konkret berechnet oder beschrieben worden?
Kann ich mir fast nicht vorstellen. Müsste man wohl mal gründlich suchen. (Oder doch in den sauren Apfel beißen und es selbst ausrechnen. Sollte eigentlich nicht so wahnsinnig schwierig sein, oder unterschätze ich da irgend etwas?)
@Niels:
Wirklich? Es wird ja nur in einer Richtung komprimiert; ich würde daher nicht erwarten, dass man in dieser Situation Probleme bekommt.
Keine Ahnung. Aber wie ich bereits weiter oben schrieb, sollte das relativ einfach sein. Außen ist Schwarzschild, in der massebehafteten Schicht dürfte etwas ähnlich der inneren Schwarzschild-Lösung vorliegen, und der leere Bereich im Inneren ist flach. Dann muss man nur noch für Stetigkeit an den Grenzen sorgen. (Alternativ sind die Einstein-Gleichungen für eine radialsymmetrische Metrik an sich ja nicht allzu kompliziert.)
Aber ich verstehe immer noch nicht, warum in diesem Fall die lineare Näherung nicht funktionieren soll. Dass für eine Hohlkugel das Newtonsche Potential φ im Inneren ungleich dem Wert im Unendlichen ist, dürfte unstrittig sein. Wenn man die Gesamtmasse klein genug macht (bzw. die Kugel groß genug), sollte die lineare Näherung beliebig genau werden, d.h. es sollte ein Koordinatensystem geben, in dem g00 = 1+2φ ist. Und dann läuft eine Uhr im Inneren langsamer als eine im Unendlichen. D.h. zumindest für schwache Gravitationsfelder gibt es diesen Effekt.
Mit ein bisschen googeln konnte ich https://www.physicsforums.com/threads/thin-shell-cavity-in-general-relativity.694141/ finden.
@alex
Danke. Du hast vollkommen recht.
Tut mir leid, dass ich so lange auf dem Schlauch stand und dickköpfig war.
Laut den physicsforums waren wir mit der Stetigkeit aber auf dem Holzweg:
Das gilt aber natürlich nur für eine infinitesimal dünne Massenschale. Bei endlicher Ausdehnung gibt es in der Metrik und ihren ersten und zweiten Ableitungen keine Unstetigkeiten. Und selbst wenn in Tμν eine „Delta-Funktion“ steht, würde ich keine Unstetigkeit in der Metrik selbst erwarten. Denn wenn das der Fall wäre, gäbe es in den ersten Ableitungen der Metrik schon eine Delta-Funktion. Und die zweiten Ableitungen würden sich dann noch „schlimmer“ verhalten (z.B. wenn man sich das ganze als „Grenzwert“ von dünner werdenden Massenschalen vorstellt). Wenn es also auf der linken Seite der Einstein-Gleichungen keine Auslöschung davon gibt, können die Gleichungen nicht erfüllt sein (rechts steht mit Tμν ja nur eine einfache Delta-Funktion); und ich sehe nicht warum es eine solche Auslöschung geben sollte.
In anderen ähnlichen Feldtheorien (klassische Gravitation, Elektrodynamik) ist es ja auch so. An einer infinitesimal dünnen geladenen Schicht ist das Potential stetig aber nicht differenzierbar.
@alex
Hm, richtig. Die Metrik müsste trotzdem stetig sein.
Als Quelle für die von mir zitierte Behauptung wird unter anderem auf „section 3.7 in A Relativist`s Toolkit by Poisson“ verwiesen.
Dort finde ich aber eher dem Widersprechendes.
Im Feld einer statischen, sphärischen Masse M (Schwarzschild-Lösung) gilt für die Eigenzeitintervalle $latex d\tau_{1}$ bzw. $latex d\tau_{2}$ zweier Uhren die Relation
$latex \frac{d\tau_{2}}{d\tau_{1}}=\sqrt{\frac{1-\frac{r_{s}}{r_{2}}}{1-\frac{r_{s}}{r_{1}}}} \approx 1+ \frac{\Phi_{2} – \Phi_{1}}{c^2}$
Dabei ist $latex \Phi = \frac{-Gm}{r}$ das Newtonsche Gravitationspotential und $latex r_{s}=\frac{2Gm}{c^2}$ der Schwarzschild-Radius.
Für die Berechnung der Gravitations-Zeitdilatation ist die Beziehung $latex \frac{d\tau_{2}}{d\tau_{1}}\approx 1+ \frac{\Phi_{2} – \Phi_{1}}{c^2}$ für unseren Fall vollkommen ausreichend.
Das Gravitationspotential unserer Erde bei konstanter Dichte ergibt sich wie folgt.
$latex r>R$ … $latex \Phi(r)=\frac{-Gm}{r}$
$latex r=R$ … $latex \Phi(r)=\frac{-Gm}{R}$
$latex r<R$ … $latex \Phi(r)=\frac{-Gm}{R^3}(\frac{3}{2}R^2-\frac{1}{2}r^2)$
$latex r=0$ … $latex \Phi(r)=\frac{-Gm}{R}(\frac{3}{2})$
$latex \Phi_{2}=\Phi(r=0)$ Gravitationspotential im Mittelpunkt der Erde
$latex \Phi_{1}=\Phi(r=R)$ Gravitationspotential an der Oberfläche der Erde
$latex \Phi_{2}-\Phi_{1}= -\frac{1}{2}\frac{Gm}{R}$ Potentialdifferenz
$latex \frac{d\tau_{2}}{d\tau_{1}}=1+ \frac{\Phi_{2} – \Phi_{1}}{c^2}= 1-\frac{1}{2}\frac{Gm}{Rc^2}$
$latex d\tau_{2}=(d\tau_{1})(1-\frac{1}{2}\frac{Gm}{Rc^2})$
$latex d\tau_{2}=(4,5*10^9 Jahre)(1-\frac{1}{2}\frac{Gm}{Rc^2})$
$latex d\tau_{1}-d\tau_{2}=1,56 Jahre$
Wäre die Erde etwas dichter bei gleicher Masse, so würde die Potentialdifferenz $latex \Phi_{2}-\Phi_{1}$ größer als jetzt werden.
Am Anfang, da hatte ich auch gerätselt, warum das Zentrum jetzt jünger sein sollte als 1,56 Jahre. Hatte total übersehen, dass das Potential bzw. die Potentialdifferenz natürlich auch von der Dichteverteilung abhängt. 😉
Interessant ist auch die Tatsache, dass in einer massenbehafteten Hohlkugel die Zeit langsamer vergeht als an deren Oberfläche,obwohl innerhalb der Hohlkugel kein Gravitationsfeld wirkt.
Oh je … alles meine Schuld! Hätte ich bloß nie die Sache mit dem LaTeX in den Kommentaren erwähnt …
NOOOOO! WAS HABE ICH GETAN?!?
;-).
@PDP10
Danke für das Kompliment. Das war doch eines, oder? 😉
Logisch ;-).
@PDP: börn in hell …:D
@Bullet
magic bullet 😉
Ich denke nicht, dass es für die Zeitdilatation einen Unterschied macht ob Halb- oder Vollkugel, solang die Hohlkugel die gleiche Masse wie die Vollkugel besitzt. Warum auch? Die verursachte Raumkrümmung mit ihrem aufintegrierten Masseschwerpunkt ist ja Derselbe, abgesehen davon dass Hohlkugel durch die G-Kräfte in Größen von Planeten durch kein Material des Universums möglich wären.
Damit sollte aber erklärbar sein, dass eine Uhr weiter abhängig von ihrem Ort und Abstand zum Mittelpunkt immer langsamer wird und auf der Oberfläche und im Unendlichen schneller.
Mega Diskussion hier! Freue mich auf diesen Artikel und das Kommentarfeld gestoßen zu sein. Alleine was die Zeitdilatation dann schon für einen Einfluss auf die Sonne und ihren Kern haben muss! Bei 333.000 Erdmassen und einer längeren Lebensdauer der Sonne müsste man das mal rechnen wieviel jünger der Sonnenkern ist als seine Oberfläche und schwarze Löcher sind damit ja die Pauseknöpfe des Universums 😉