Störungsrechnung und die Stabilität des Sonnensystems (Teil 3)

Im ersten Teil der Serie habe ich die Grundlagen der Störungsrechnung erklärt; im zweiten Teil habe ich – hoffentlich halbwegs verständlich – erläutert, wie man die Bewegung der Planeten im Sonnensystem störungstechnisch formuliert.

Falls doch noch ein paar Leute übrig sind, die sich durch die vielen Formeln nicht abschrecken haben lassen, geht es jetzt weiter: mit noch mehr Formeln 😉

Zuerst möchte ich noch einmal auf dieStörungsfunktion von gestern zurückkommen.

Diese Formeln ergeben sich direkt aus den Gravitationsgesetzen und sind exakt. Aber wenn die Störungsfunktion so aufgeschrieben wird, kann man nicht wirklich Störungsrechnung damit treiben. Hier muss man ja die wirkende Kräfte als Summe von immer kleiner werdenen Bestandteilen darstellen.

In der Mathematik gibt es spezielle Techniken, wie man eine Funktion – z.B. die Sinus-Funktion – in eine sogenannte Reihe umwandeln kann. So eine Reihe ist nichts anderes als eine lange Addition verschiedener Terme. Mathematisch wird sie mit dem Summensymbol Σ dargestellt; unter und über dem Symbol wird angegeben, wie summiert wird. Zum Beispiel so:

Das bedeutet, das i alle Zahlen von 0 bis unendlich durchläuft und man daher die Summe der Zahlen a₁, a₂, a₃, usw bilden muss; also S = a₁ + a₂ + a₃ + …

Mit so einer Summendarstellung einer Funktion kann man dann Störungsrechnung betreiben. Wie man die Störungsfunktion in eine Summe unwandelt kann ich hier allerdings nicht erklären – das würde mehr als ein paar Bildschirmseiten benötigen – viel mehr… Jedenfalls kann man eine sogenannten Fourrierreihe bilden und die sieht am Ende so aus:

Die Störungsfunktion für den i-ten Körper besteht also aus der Masse des i-ten Körpers, multipliziert mit einer Summe. Diese Summe besteht aus den Zahlen C_jk, die von den Bahnelementen a, e und i abhängen und einer Kosinusfunktion. Im Argument dieser Funktion steht das Delaunay-Element l – also die mittlere Anomalie die die Bewegung des Planeten angibt und auch als l = nt geschrieben werden kann (n ist die mittlere Bewegung eines Planeten). Ebenfalls im Argument der Kosinusfunktion stehen weitere Zahlen D_jk, die von den Winkeln der Bahnelemente abhängen. 

Mit dieser Formulierung der Störungsfunktion kann man nun die kanonischen Gleichungen der Delaunay-Elemente benutzen um die Änderungen der Bahnelemente zu berechnen. Ich habe ja gestern schon gezeigt, dass die Änderung eines Elements identisch mit der Änderung der Störungsfunktion ist, die auftritt, wenn man das entsprechende konjugierte Element ändert. Will ich also die gesamten Störungen eines Bahnelements bestimmen, muss ich nur über diese sogenannte partielle Ableitung der Störungsfunktion integrieren:

Ich möchte das am Beispiel des Delaunay-Elements L₁ zeigen. L₁ hängt mit der großen Halbachse des ersten Planeten zusammen. Um die Gleichung zu lösen muss man also erstmal die Störungsfunktion nach dem konjugierten Element ableiten. Für L₁ ist das l₁. Die Ableitung ist nicht allzu schwer zu bilden; das Ergebnis sieht so aus:

Relevant ist hier, das man auch die Kosinusfunktion ableiten muss. Aus der Schule werden die meisten noch wissen, dass die Ableitung der Kosinusfunktion die negative Sinusfunktion ist. Und man muss auch noch das Argument der Kosinusfunktion ableiten – das ist hier besonders wichtig, denn im Argument steht ja gerade das Delaunay-Element l – das, nach dem hier abgeleitet werden muss. Wenn ich lj differenziere, dann bleibt nur j übrig – deswegen gibt es im Ergebnis oben noch ein zusätzliches j (das ich rot markiert habe).

Für das Endergebnis muss man das ganze nochmal nach der Zeit integrieren. Aus dem Sinus wird hier wieder ein Kosinus und das Argument der Sinusfunktion taucht nun noch einmal als Bruch auf:

Wichtig ist eigentlich nur, dass das zusätzliche j immer noch da ist. Und es ist wichtig sich klar zu machen, dass es nur bei der Berechnung von  L₁ bzw.  L₂ auftaucht. Denn nur hier muss man für die Lösung die Störungsfunktion nach l ableiten – die anderen Größen (G,H) haben andere konjugierte Elemente (g,h) die nicht zusammen mit einem j oder k im Argument der Kosinusfunktion auftauchen. Hier entsteht bei der Ableitung also kein zusätzliches j oder k!

Warum ist das wichtig? Wenn man die Lösung einer Gleichung störungstechnisch aufbaut, setzt man sie aus verschiedenen Elementen zusammen:

Ganz am Anfang der Reihe steht der ungestörte Fall, der in der Gleichung oben mit σ₀ bezeichnet wird. Dann folgt der sogenannte Säkularterm σ₁ , der direkt von der Zeit t abhängt und der entsteht, wenn man in der Summe die Indizes j und k gleich Null setzt. Danach kommen die Terme höherer Ordnung die immer weniger zur Genauigkeit der Lösung beitragen.

Der Säkularterm ist wichtig – er hängt direkt von der Zeit ab und wächst mit ihr. Je mehr Zeit vergeht, desto größer kann er werden. Das ist von großer Bedeutung, wenn man über die Stabilität des Sonnensystems Bescheid wissen will. Die relevante Frage ist hier, ob die Bahnen der Planeten bei ihren Änderungen auf einen bestimmten Bereich beschränkt sind oder beliebig groß werden können. Wenn beispielsweise die Bahn der Venus immer größer und größer wird – also die große Halbachse der Venusbahn ungehemmt wachsen kann – dann kann sie irgendwann mit der Erde zusammenstoßen. Nur wenn die Änderungen beschränkt sind, kann das Sonnensystem stabil bleiben.

Wenn in der Lösung ein Säkularterm existiert, dann kann sie allerdings im Laufe der Zeit immer größer und größer werden. Hier sieht man nun, warum der zusätzliche Index bei der Lösung von σ₀ äußerst wichtig ist: wenn alle Indizes null gesetzt werden (was man ja machen muss um den Säkularterm zu berechnen), dann sorgt das zusätzliche j dafür, dass der komplette Ausdruck null wird. Die Lösung von L₁ hat also keinen Säkularterm!

Und da L₁ direkt von der großen Halbachse des ersten Planeten abhängt ist sichergestellt, dass seine große Halbachse und damit seine Bahn nicht beliebig groß werden kann. Das gilt natürlich auch für die Lösungen der anderen Planeten und somit ist klar, dass das Sonnensystem stabil ist! Die Bahnen der Planeten können sich nicht beliebig ändern sondern sind auf bestimmte Bereiche beschränkt.

Allerdings bleibt ein kleiner Schönheitsfehler. Ich hab ja schon erwähnt, das die Störungsrechnung immer nur Näherungslösungen liefert, die zwar immer exakter gemacht werden können – aber nie völlig exakt sein werden. Wenn man die die oben dargestellten Lösungen verbessert – in der Störungstheorie sagt man, dass man zu höheren Ordnungen übergeht – dann ändert sich das Bild. Beim Übergang zur nächsthöheren Ordnung taucht immr noch kein Säkularterm auf – aber bei der nächsten Ordnung ist die Situation anders: hier gibt es dann einen Säkularterm und es kann nicht für alle Zeiten sichergestellt werden, dass die Planetenbahnen stabil bleiben.

Das zeigen dann auch die numerischen Simulationen: in erster Näherung ist unser Sonnensystem stabil – aber wenn man lange Zeiträume betrachtet und alle Effekte inkludiert, dann kann es unter Umständen zu chaotischem Verhalten kommen.