Ein wenig Chaostheorie am Pi-Approximationstag

Heute muß ich wieder mal in meiner Eigenschaft als Botschafter der Zahl Pi aktiv werden. Denn neben dem 14. März ist der 22. Juli einer der großen Feiertage der Pi-Gemeinde.

Der 22. Juli oder 22/7 ist der „Pi-Approximationstag“. Denn die Zahl Pi hat zwar unendlich viele Stellen und lässt sich nicht durch einen Bruch darstellen – aber manche Brüche kommen dem echten Wert von Pi schon recht nahe. Ein alte und sehr bekannte Näherung für Pi ist 22/7 = 3.1428…

Abgesehen davon, dass es immer gut ist, einen Anlass zum Feiern zu haben (der Pi-Approximationstag eignet sich hervorragend um mit ein paar Freunden ein schönes Sommerfest zu veranstalten und währendessen z.B. 22/7 Liter Bier zu trinken) spielt die Approximation von irrationalen Zahlen auch eine wichtige Rolle in der Theorie dynamischer Systeme.

Ich habe ja in meiner Mini-Serie über Chaostheorie schon einmal die periodischen und quasiperiodischen Bahnen beschrieben. Dabei habe ich auch die sg. Rotationszahl erläutert: bei periodischen Bahnen ist sie eine rationale Zahl; bei quasiperiodischen Bahnen irrational.

Jede stabile Bahn (periodisch oder quasiperiodich) in einem dynamischen System lässt sich also durch ihre Rotationszahl charakterisieren. Und je schlechter diese Rotatationszahl durch eine rationale Zahl approximierbar ist, desto besser sind die Bahnen vor wirkenden Störungen im System geschützt!

Der Grund dafür ist leicht zu erklären: Resonanzen! Resonanzen können zur Zerstörung stabiler Zustände führen und treten z.B. bei Himmelskörper dann auf, wenn deren Umlaufzeiten in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander stehen (z.B. 3:1 oder 5:2). Natürlich ist so ein Zustand in der Natur niemals exakt realisiert – aber je näher das Verhältnis der Umlaufzeiten einer rationalen Zahl kommt – also je besser es durch eine rationale Zahl approximierbar ist! – desto stärker kann die Resonanz wirken.

Die am schlechtesten approximierbare irrationale Zahl ist übrigens die Zahl des berühmten goldenen Schnitts:

Weil diese Zahl am schlechtesten approximierbar ist, hat sie auch in der Kettenbruchdarstellung die einfachste Form:

Warum das so ist, werde ich jetzt nicht im einzelnen ableiten. Es ist aber relativl leicht zu sehen, wenn man sich klarmacht, wie ein Kettenbruch funktioniert.

Zahlen, in deren Kettenbruchdarstellung irgendwann nur noch Einsen vorkommen, heissen übrigens „noble Zahlen„. Es gilt auch hier: je nobler die Rotationszahl einer Bahn, desto stabiler ist sie gegenüber Störungen Die Zahl des goldenen Schnitts ist also auch die nobelste aller Zahlen – und vielleicht ist das der Grund, warum sie in der Natur so oft auftritt. Denn eine möglichst schlechte Approximierbarkeit durch rationale Zahlen kann z.B. für das Blütenwachstum mancher Pflanzen sehr wichtig sein – so ergibt sich der goldene Schnitt ganz von selbst.

In diesem Sinne wünsche ich allen Leserinnen und Lesern noch einen schönen Pi-Approximationstag Tag!